CVX解线性方程组时奇异值截断正则化 matlab举例说明

在Matlab中，使用CVX求解线性方程组时，可以通过奇异值截断正则化来提高求解的稳定性和精度。具体实现方法如下：

假设我们要求解以下线性方程组：

Ax=b

其中，A是一个m×n的矩阵，b是一个m维向量，x是一个n维向量。

首先，我们需要用奇异值分解（SVD）将A分解为：

A=UΣV^T

其中，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V是一个n×n的正交矩阵。

然后，我们可以将线性方程组Ax=b改写为：

UΣV^Tx=b

令y=V^Tx，则有：

UΣy=b

现在，我们可以使用奇异值截断正则化来求解y。具体做法是对Σ的奇异值进行截断，只保留其中最大的k个奇异值。假设保留的奇异值为σ1,σ2,...,σk，则截断后的Σ为：

Σ'=[σ1 0 ... 0; 0 σ2 ... 0; ...; 0 0 ... σk 0 ... 0]

将Σ'代入上式，得到：

UΣ'y=b'

其中，b'为b乘以V的前k列，即：

b'=[b_1;b_2;...;b_k;0;...;0]

现在，我们可以使用CVX求解y：

cvx_begin
variable y(k)
minimize( norm(U*Sigmay-b',2) )
cvx_end

最后，我们将求得的y代入y=V^Tx，即可得到x的解。