说明齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与A的转置矩阵的列向量组中任一向量皆正交，进而说明A的转置矩阵的列向量组的极大无关组添上Ax=0的基础解系仍是线性无关的

非常感谢您的问题！要回答您的问题，我们首先需要了解一些基本概念。

齐次线性方程组定义为Ax=0，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n×1的列向量，0是一个m×1的零向量。

基础解系是指齐次线性方程组Ax=0的解向量组成的集合中，任意选取一组基（即线性无关且张成全集的向量组）作为解向量组的基，所得到的向量组。

列向量组是指将一个矩阵的列向量按顺序组成的向量组。

我们知道，如果一个向量与另一个向量正交，那么它们的数量积（内积）等于0。因此，我们可以得到以下结论：

在齐次线性方程组Ax=0的基础解系中，任何一个解向量与A的转置矩阵的列向量组中的任何一个列向量都是正交的。

为什么呢？我们来看一下：

假设v是齐次线性方程组Ax=0的一个解向量，即Av=0。那么，我们有：

vT(Aj) = 0，

其中j是A的列向量的下标。这意味着v与A的转置矩阵的每个列向量都正交。

接下来，我们来证明另一个结论：

如果将Ax=0的基础解系加入A的转置矩阵的列向量组中，所得到的向量组仍然是线性无关的。

首先，我们知道齐次线性方程组Ax=0的解向量组中一定存在一组基，记作{v1, v2, ..., vk}，使得它们是线性无关的。我们把它们加入A的转置矩阵的列向量组中，得到向量组{A1, A2, ..., An, v1, v2, ..., vk}。

假设存在一些实数c1, c2, ..., cn, d1, d2, ..., dk，不全为零，使得：

c1A1 + c2A2 + ... + cnAn + d1v1 + d2v2 + ... + dkvk = 0

我们需要证明d1=d2=...=dk=0。为此，我们将上式乘以v1T, v2T, ..., vkT，并利用前面所证明的结论：

v1T(c1A1 + c2A2 + ... + cnAn) + v1T(d1v1 + d2v2 + ... + dkvk) = 0
v2T(c1A1 + c2A2 + ... + cnAn) + v2T(d1v1 + d2v2 + ... + dkvk) = 0
...
vkT(c1A1 + c2A2 + ... + cnAn) + vkT(d1v1 + d2v2 + ... + dkvk) = 0

由于{v1, v2, ..., vk}是Ax=0的基础解系，所以v1, v2, ..., vk之间是线性无关的。因此，我们有：

d1v1T(v1) + d2v2T(v1) + ... + dkvkT(v1) = 0
d1v1T(v2) + d2v2T(v2) + ... + dkvkT(v2) = 0
...
d1v1T(vk) + d2v2T(vk) + ... + dkvkT(vk) = 0

由于{v1, v2, ..., vk}是线性无关的，所以它们之间的秩为k。因此，我们可以得到：

| v1T(v1) v1T(v2) ... v1T(vk) |
| v2T(v1) v2T(v2) ... v2T(vk) |
| ... ... ... |
| vkT(v1) vkT(v2) ... vkT(vk) |

的行列式不为零，即：

v1T(v2) ... v1T(vk) v2T(v1) ... v2T(vk) ... vkT(v1) ... vkT(vk)
|A1| |v1| | | |d1| |
|A2| |v2| | | |d2| |
|...| ... |...| ... ... | | = |...| ... |
|An| |vk| | | |dk| |

此时，我们有：

| A1T(v1) A2T(v1) ... AnT(v1) v1T(v1) v1T(v2) ... v1T(vk) |
| A1T(v2) A2T(v2) ... AnT(v2) v2T(v1) v2T(v2) ... v2T(vk) |
| ... ... ... ... |
| A1T(vn) A2T(vn) ... AnT(vn) vnT(v1) vnT(v2) ... vnT(vk) |

的行列式也不为零。因此，我们可以得到：

d1 = d2 = ... = dk = 0

这就证明了向量组{A1, A2, ..., An, v1, v2, ..., vk}是线性无关的。

综上所述，我们证明了以下两个结论：

在齐次线性方程组Ax=0的基础解系中，任何一个解向量与A的转置矩阵的列向量组中的任何一个列向量都是正交的。

将Ax=0的基础解系加入A的转置矩阵的列向量组中，所得到的向量组仍然是线性无关的。

希望这样的回答能够对您有所帮助！