说明齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中任一向量与 的列向量组中任一向量皆正交；进而 的列向量组的极大无关组添加上Ax=0 的基础解系仍然是线性无关的

首先，对于一个齐次线性方程组 Ax=0，它的解空间是一个线性空间，其中基础解系是指解空间中的一组向量，它们构成了解空间的一组基。

假设基础解系为 {v1, v2, ..., vk}，则对于任意一个向量 w 属于解空间，都可以表示为 w = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk，其中 c1, c2, ..., ck 是任意常数。

现在考虑 的列向量组 {u1, u2, ..., um}，根据定义，我们需要证明任意一个基础解系中的向量与任意一个 的列向量都正交。

设 vi 是基础解系中的一个向量，uj 是 的列向量组中的一个向量，那么有：

vi * uj = 0（其中 * 表示向量的内积）

这是因为 Ax=0 表示的是矩阵 A 与向量 x 的乘积等于零向量，因此矩阵 A 的每一列与解向量都正交。根据向量的线性性质，我们可以将任意解向量表示为基础解系中向量的线性组合，因此基础解系中的任意向量与 的列向量组中的任意向量都正交。

接下来，我们需要证明将 Ax=0 的基础解系与 的列向量组的极大无关组添加起来仍然是线性无关的。我们知道，将两个线性无关的向量组合起来仍然是线性无关的，因此我们只需要证明 Ax=0 的基础解系与 的列向量组的极大无关组都是线性无关的。

对于 Ax=0 的基础解系，我们已经知道它是线性无关的，因为它是一个解空间的基。对于 的列向量组的极大无关组，我们可以将它们看作矩阵 A 的列向量组的极大无关组，因此它们也是线性无关的。

因此，将 Ax=0 的基础解系与 的列向量组的极大无关组添加起来仍然是线性无关的。

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说明齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中任一向量与 的列向量组中任 一向量皆正交；

对于齐次线性方程组Ax=0，其基础解系中的向量是满足Ax=0的向量构成的向量组，如果该向量组只有零解，则它的基础解系为空。

对于非空的基础解系，可以通过高斯消元等方法求得。假设该基础解系为{x1,x2,...,xn}，则对于任意的i,j∈{1,...,n}，有xi·Aj=0，即xi与Aj正交。

其中，Aj为矩阵A的第j列向量，·表示内积符号。

同时，由于x1,x2,...,xn构成基础解系，它们必须线性无关。因此，若有一个向量b可以表示为b=c1x1+c2x2+...+cnxn，其中c1,c2,...,cn为任意常数，则b与向量组{Aj}中的任意一个向量都正交，即b·Aj=0。

说明齐次线性方程组 Ax=0的基础解系中任一向量与A转置的列向量组中任一向量皆正交

这是因为对于齐次线性方程组Ax=0，它的解向量x一定属于A的零空间，也就是A的所有列向量的线性组合中产生的向量的集合。因此，在基础解系中，每个解向量都与A的所有列向量正交，因为在基础解系中的解向量可以表示为A的列向量的线性组合，而任意两个不同的列向量是线性无关的，因此它们的内积为0。同样地，A的转置的列向量组也是线性无关的，因此它们互相正交。因此，基础解系中的任意解向量和A转置的列向量组中的任意向量互相正交。