当方程组AX=O和AX=b有无穷多解时，如何表示它们的解集？

### 回答1：
当方程组 $AX=O$ 和 $AX=b$ 有无穷多解时，它们的解集可以表示为 $X=X_0+X_n$，其中 $X_0$ 是 $AX=O$ 的一个特解，$X_n$ 是 $AX=O$ 的通解，即 $AX_n=O$，$X_n$ 的维数等于 $AX=O$ 的解空间的维数。因此，$AX=b$ 的解集可以表示为 $X=X_0+X_n$，其中 $X_0$ 是 $AX=b$ 的一个特解，$X_n$ 是 $AX=O$ 的通解。

### 回答2：
当方程组$AX=O$有无穷多解时，表示这个方程组有多个解向量。解集可以表示为：$X=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = k\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$，其中，$k$为任意常数，$v_1, v_2, \ldots, v_n$为非零向量，且$AV=O$，即向量$v$满足该方程。

当方程组$AX=b$有无穷多解时，表示这个方程组有多个解向量。解集可以表示为：$X=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{p} \\ x_{p+1} \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + k_1\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$，其中，$k_1$为任意常数，$x_p$为一个特解，$v_1, v_2, \ldots, v_n$为非零向量，且$AV=O$，即向量$v$满足该方程。这里的$k_1\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$表示方程的自由变量。

综上所述，当方程组$AX=O$和$AX=b$有无穷多解时，分别用向量组的线性组合形式表示它们的解集。其中，$k$为任意常数，$v_1, v_2, \ldots, v_n$为非零向量。对于方程$AX=b$，$k_1$为任意常数，$x_p$为一个特解，$v_1, v_2, \ldots, v_n$为非零向量。

### 回答3：
当方程组AX=O有无穷多解时，表示矩阵A为奇异矩阵，即A的行向量不是线性无关的，且解集包含所有满足AX=O的向量x。

当方程组AX=b有无穷多解时，表示矩阵A的行向量组的秩小于列数，且解集包含所有满足AX=b的向量x。解集可通过特解加上齐次方程的通解得到。

具体的表示方法为：
对于方程组AX=O，解集可以用线性方程组的参数形式表示：x=k_1*x_1+k_2*x_2+...+k_n*x_n，其中k_1、k_2、...、k_n为任意常数，x_1、x_2、...、x_n为方程组的基础解系。

对于方程组AX=b，可以先求出方程组的一个特解x_0，再加上方程组AX=O的通解，即可表示方程组AX=b的解集。

总之，当方程组有无穷多解时，解集可以通过参数形式表示，常数为自由变量，基础解系为方程组的解的基础。