证明极大线性无关组所含向量个数唯一
时间: 2023-06-08 10:08:22 浏览: 87
证明极大线性无关组所含向量个数唯一的方法如下:
假设有两个极大线性无关组 $S_1 = \{v_1, v_2, ..., v_m\}$ 和 $S_2 = \{w_1, w_2, ..., w_n\}$,假设 $m > n$,不失一般性,可以考虑向量 $v_1$:
- 如果向量 $v_1$ 可以用向量组 $S_2$ 线性表示,那么有 $v_1 = a_1w_1 + a_2w_2 + ... + a_nw_n$,其中 $a_i$ 是实数系数。
- 由于 $S_1$ 是极大线性无关组,所以 $v_1$ 不能由 $S_1$ 中其它向量线性表示,那么 $S_1 - \{v_1\} = \{v_2, v_3, ..., v_m\}$ 必定是线性相关的,即存在一组不全为零的系数 $b_2, b_3, ..., b_m$,使得 $b_2v_2 + b_3v_3 + ... + b_mv_m = 0$。
- 将向量 $v_1$ 用向量组 $S_2$ 表示的式子代入上式得到 $a_1w_1 + b_2v_2 + b_3v_3 + ... + b_mv_m = 0$,进一步变形为 $a_1w_1 = -b_2v_2 - b_3v_3 - ... - b_mv_m$。
- 由此得到 $w_1$ 也可以用向量组 $S_1 - \{v_1\}$ 线性表示:$w_1 = -\frac{b_2}{a_1}v_2 - \frac{b_3}{a_1}v_3 - ... - \frac{b_m}{a_1}v_m$。
- 这与 $S_2$ 是极大线性无关组矛盾,因为 $w_1$ 可以被 $S_1 - \{v_1\}$ 中其它向量线性表示,说明 $S_2$ 也不是极大线性无关组。因此假设 $m > n$ 不成立,同理可以证明 $n > m$ 也不成立,所以极大线性无关组所含向量个数唯一。
因此,如果存在多个极大线性无关组,它们所含向量个数必须相同。