证明若向量组有不止一个 极大线性无关组,不同极大线性无关组中向量个数都一样多
时间: 2024-05-22 19:01:41 浏览: 13
假设有两个极大线性无关组$S_1$和$S_2$,且$S_1$包含$k$个向量,$S_2$包含$l$个向量,其中$k>l$。
由于$S_1$是极大线性无关组,所以它的任何一个向量都不能由其它向量线性表示,即对于任意的$i\in[1,k]$,都有:
$$
\alpha_{i1}\boldsymbol{v}_{i1}+\alpha_{i2}\boldsymbol{v}_{i2}+\cdots+\alpha_{ik}\boldsymbol{v}_{ik}=\boldsymbol{0}\Rightarrow \alpha_{i1}=\alpha_{i2}=\cdots=\alpha_{ik}=0
$$
同理,对于$S_2$中的向量也有类似的结论:
$$
\beta_{i1}\boldsymbol{w}_{i1}+\beta_{i2}\boldsymbol{w}_{i2}+\cdots+\beta_{il}\boldsymbol{w}_{il}=\boldsymbol{0}\Rightarrow \beta_{i1}=\beta_{i2}=\cdots=\beta_{il}=0
$$
由于$k>l$,所以可以选择$S_1$中的任意一个向量$\boldsymbol{v}_{i}$,并将它表示为$S_2$中向量的线性组合:
$$
\boldsymbol{v}_{i}=c_{i1}\boldsymbol{w}_{i1}+c_{i2}\boldsymbol{w}_{i2}+\cdots+c_{il}\boldsymbol{w}_{il}
$$
其中$c_{ij}$是系数。由于$S_1$是极大线性无关组,所以$S_2$中至少有一个向量$\boldsymbol{w}_{ij}$不能被$\boldsymbol{v}_{i}$表示为线性组合,即:
$$
\boldsymbol{w}_{ij}\neq c_{i1}\boldsymbol{w}_{i1}+c_{i2}\boldsymbol{w}_{i2}+\cdots+c_{il}\boldsymbol{w}_{il}
$$
但是,由于$S_2$是极大线性无关组,所以$\boldsymbol{w}_{ij}$不能被其它向量线性表示,这与上面的不等式矛盾。
因此,假设不成立,即不同极大线性无关组中向量个数一定相同。
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