若向量组有不止一个极大 线性无关组,证明不同极大线性无关组中向量个数都一样多
时间: 2024-05-22 08:02:18 浏览: 13
。这是一个常用的线性代数定理,称为Steinitz换基定理,其证明如下:
设向量组S={v1,v2,...,vm}的秩为r,则S中一定存在一个极大线性无关组T={u1,u2,...,ur}。
假设存在另一个极大线性无关组T'={u1',u2',...,ur'},且ur'≠um,不妨设ur'=a1u1'+a2u2'+...+aru'u',其中a1,a2,...,aru'为非零系数。则将u1',u2',...,ru'替换为v1,v2,...,vr即可得到一个秩为r+1的向量组,与原向量组S的秩为r矛盾,因此假设不成立。
同理,可以证明其他极大线性无关组中向量个数都一样多。
相关问题
证明若向量组有不止一个 极大线性无关组,不同极大线性无关组中向量个数都一样多
假设有两个极大线性无关组$S_1$和$S_2$,且$S_1$包含$k$个向量,$S_2$包含$l$个向量,其中$k>l$。
由于$S_1$是极大线性无关组,所以它的任何一个向量都不能由其它向量线性表示,即对于任意的$i\in[1,k]$,都有:
$$
\alpha_{i1}\boldsymbol{v}_{i1}+\alpha_{i2}\boldsymbol{v}_{i2}+\cdots+\alpha_{ik}\boldsymbol{v}_{ik}=\boldsymbol{0}\Rightarrow \alpha_{i1}=\alpha_{i2}=\cdots=\alpha_{ik}=0
$$
同理,对于$S_2$中的向量也有类似的结论:
$$
\beta_{i1}\boldsymbol{w}_{i1}+\beta_{i2}\boldsymbol{w}_{i2}+\cdots+\beta_{il}\boldsymbol{w}_{il}=\boldsymbol{0}\Rightarrow \beta_{i1}=\beta_{i2}=\cdots=\beta_{il}=0
$$
由于$k>l$,所以可以选择$S_1$中的任意一个向量$\boldsymbol{v}_{i}$,并将它表示为$S_2$中向量的线性组合:
$$
\boldsymbol{v}_{i}=c_{i1}\boldsymbol{w}_{i1}+c_{i2}\boldsymbol{w}_{i2}+\cdots+c_{il}\boldsymbol{w}_{il}
$$
其中$c_{ij}$是系数。由于$S_1$是极大线性无关组,所以$S_2$中至少有一个向量$\boldsymbol{w}_{ij}$不能被$\boldsymbol{v}_{i}$表示为线性组合,即:
$$
\boldsymbol{w}_{ij}\neq c_{i1}\boldsymbol{w}_{i1}+c_{i2}\boldsymbol{w}_{i2}+\cdots+c_{il}\boldsymbol{w}_{il}
$$
但是,由于$S_2$是极大线性无关组,所以$\boldsymbol{w}_{ij}$不能被其它向量线性表示,这与上面的不等式矛盾。
因此,假设不成立,即不同极大线性无关组中向量个数一定相同。
证明若向量组有不止一个极大线 性无关组,不同极大线性无关组中向量个数都一样多)
如果一个向量组有不止一个极大线性无关组,则它们之间必须有非平凡的线性组合,否则它们本身就是一个极大线性无关组。假设向量组的维数为n,那么任意一个极大线性无关组中向量的个数都不会超过n,否则就不是极大的了。因此,如果不同极大线性无关组中向量个数不一样,那么肯定有一个极大线性无关组中向量的个数大于其它所有极大线性无关组中向量的个数之和,这样的话,这个极大线性无关组就不可能再由其它向量组合成,与题设不符,因此不同极大线性无关组中向量个数必须一样多。
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