证明线性无关向量组的极大线性无关组是其本身
时间: 2023-06-13 13:07:49 浏览: 66
设向量组 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_k$ 线性无关,且存在向量组 $\boldsymbol{v}_{k+1}, \boldsymbol{v}_{k+2}, \cdots, \boldsymbol{v}_n$ 使得 $\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_k, \boldsymbol{v}_{k+1}, \boldsymbol{v}_{k+2}, \cdots, \boldsymbol{v}_n\}$ 是线性相关的。那么,存在不全为零的实数 $c_1, c_2, \cdots, c_n$,使得:
$$c_1\boldsymbol{v}_1+c_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+c_k\boldsymbol{v}_k+c_{k+1}\boldsymbol{v}_{k+1}+c_{k+2}\boldsymbol{v}_{k+2}+\cdots+c_n\boldsymbol{v}_n=\boldsymbol{0}$$
其中,不全为零的 $c_i$ 中必有至少一个 $c_i$ 不为零,不妨设为 $c_{k+1}$。
于是,我们可以把上式变形为:
$$c_{k+1}\boldsymbol{v}_{k+1}=-c_1\boldsymbol{v}_1-c_2\boldsymbol{v}_2-\cdots-c_k\boldsymbol{v}_k-c_{k+2}\boldsymbol{v}_{k+2}-\cdots-c_n\boldsymbol{v}_n$$
由于 $c_{k+1}\neq 0$,所以可以进一步变形为:
$$\boldsymbol{v}_{k+1}=-\frac{c_1}{c_{k+1}}\boldsymbol{v}_1-\frac{c_2}{c_{k+1}}\boldsymbol{v}_2-\cdots-\frac{c_k}{c_{k+1}}\boldsymbol{v}_k-\frac{c_{k+2}}{c_{k+1}}\boldsymbol{v}_{k+2}-\cdots-\frac{c_n}{c_{k+1}}\boldsymbol{v}_n$$
这意味着 $\boldsymbol{v}_{k+1}$ 可以由 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_k, \boldsymbol{v}_{k+2}, \cdots, \boldsymbol{v}_n$ 线性表示,即 $\boldsymbol{v}_{k+1}$ 不属于向量组 $\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_k\}$ 的生成子空间中,因此 $\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_k\}$ 极大线性无关。
综上所述,向量组 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_k$ 的极大线性无关组是 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_k$ 本身。
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