设向量组a1,a2,a3线性无关

如果向量组 a1, a2, a3 线性无关，那么任意一个向量都不可以表示为其它向量的线性组合。也就是说，对于任意一个标量 k1, k2, k3，只有当 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0 时，k1 = k2 = k3 = 0 才成立。

这样的向量组可以作为向量空间的一组基，也就是说，它们能够线性表示向量空间中的所有向量。因此，向量组 a1, a2, a3 的维度为 3，它们可以张成三维空间中的一个平面或整个空间。

相关问题

设向量组a1,a2,a3线性相关,则a1一定可以由a2,a3线性表示,这句话对吗?为什么

这句话不一定对。如果向量组a1,a2,a3线性相关，那么至少有一个向量可以表示成其它向量的线性组合。但是不能确定一定是a1可以由a2,a3线性表示，也可能是a2可以由a1,a3线性表示，或者a3可以由a1,a2线性表示。因此，这个语句不一定成立。

举个例子，假设有一个向量组a1 = (1, 1, 1), a2 = (2, 2, 2), a3 = (3, 3, 3)。这个向量组是线性相关的，因为a3 = a1 + 2a2。但是a1不能被a2和a3线性表示，因为它们三个向量共线，线性相关，不能组成三维空间的一组基。所以这个例子说明了这个语句不一定成立。

设向量组a1,a2,a3线性无关，b1=a1+a3,b2=a2+a3,b3=3a1-a2+2a3 讨论b1,b2,b3线性相关性

我们可以用 b1, b2, b3 的线性组合来表示它们是否线性相关。假设存在标量 k1, k2, k3，使得 k1b1 + k2b2 + k3b3 = 0，那么：

k1(a1 + a3) + k2(a2 + a3) + k3(3a1 - a2 + 2a3) = 0

化简得：

(k1 + 3k3)a1 + (-k2 - k3)a2 + (k1 + k2 + 2k3)a3 = 0

由于 a1, a2, a3 线性无关，所以只有当 k1 + 3k3 = 0, -k2 - k3 = 0, k1 + k2 + 2k3 = 0 时，方程组才有非零解。

解方程组得：

k1 = -k2/2, k3 = k2/6

因此，只要 k2 不等于 0，就可以找到非零解，也就是说，b1, b2, b3 线性相关。反之，如果 k2 等于 0，那么只有 k1 = k3 = 0，b1, b2, b3 才线性无关。

综上所述，b1, b2, b3 线性相关的充分必要条件是 k2 不等于 0。