设向量组a1=(1,1,1),a2=(1,2,3),a3=(1,3,t)题目;(1)当t为何值时向量组a1,a2,a3线性相关?
时间: 2023-09-20 10:11:51 浏览: 43
当向量组a1,a2,a3线性相关时,存在不全为零的系数k1、k2、k3,使得k1*a1 + k2*a2 + k3*a3 = 0。
将a1,a2,a3的分量代入上式得到:
k1 + k2 + k3 = 0
k1 + 2k2 + 3k3 = 0
k1 + 3k2 + tk3 = 0
构造增广矩阵并对其进行初等行变换,得到:
[1 1 1 0]
[1 2 3 0]
[1 3 t 0]
将第二行减去第一行,第三行减去第一行,得到:
[1 1 1 0]
[0 1 2 0]
[0 2 t-1 0]
将第三行减去2倍的第二行,得到:
[1 1 1 0]
[0 1 2 0]
[0 0 t-5 0]
当t=5时,增广矩阵的最后一列全为0,并且存在非零的行,因此向量组a1,a2,a3线性相关。当t≠5时,增广矩阵的最后一列存在非零元素,因此向量组a1,a2,a3线性无关。
相关问题
设向量组a1,a2,a3线性无关
如果向量组 a1, a2, a3 线性无关,那么任意一个向量都不可以表示为其它向量的线性组合。也就是说,对于任意一个标量 k1, k2, k3,只有当 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0 时,k1 = k2 = k3 = 0 才成立。
这样的向量组可以作为向量空间的一组基,也就是说,它们能够线性表示向量空间中的所有向量。因此,向量组 a1, a2, a3 的维度为 3,它们可以张成三维空间中的一个平面或整个空间。
设向量组a1,a2,a3线性无关,b1=a1+a3,b2=a2+a3,b3=3a1-a2+2a3 讨论b1,b2,b3线性相关性
我们可以用 b1, b2, b3 的线性组合来表示它们是否线性相关。假设存在标量 k1, k2, k3,使得 k1b1 + k2b2 + k3b3 = 0,那么:
k1(a1 + a3) + k2(a2 + a3) + k3(3a1 - a2 + 2a3) = 0
化简得:
(k1 + 3k3)a1 + (-k2 - k3)a2 + (k1 + k2 + 2k3)a3 = 0
由于 a1, a2, a3 线性无关,所以只有当 k1 + 3k3 = 0, -k2 - k3 = 0, k1 + k2 + 2k3 = 0 时,方程组才有非零解。
解方程组得:
k1 = -k2/2, k3 = k2/6
因此,只要 k2 不等于 0,就可以找到非零解,也就是说,b1, b2, b3 线性相关。反之,如果 k2 等于 0,那么只有 k1 = k3 = 0,b1, b2, b3 才线性无关。
综上所述,b1, b2, b3 线性相关的充分必要条件是 k2 不等于 0。