如果向量阝=(1,0,k,2),能由向量组a1=(1,3,0,5)a2=(1,2,1,4),a3=(1,1,2,3)线性表示,则k=
时间: 2024-05-08 07:22:14 浏览: 16
我们可以将向量组a1、a2、a3组成一个矩阵A,即:
```
A = [1 3 0 5;
1 2 1 4;
1 1 2 3]
```
那么向量阝能被向量组a1、a2、a3线性表示,等价于求矩阵A的秩rank(A)和增广矩阵[A|阝]的秩rank([A|阝])是否相等。
我们把增广矩阵[A|阝]进行行变换,得到如下矩阵:
```
[1 3 0 5 | 1;
0 -1 1 -1 | -k;
0 0 1 2 | 0]
```
通过观察,我们可以发现矩阵A的秩为3,而增广矩阵[A|阝]的秩也为3。因此,向量阝能被向量组a1、a2、a3线性表示。
由于阝=(1,0,k,2),因此我们可以得到如下方程组:
```
1a1 + 0a2 + ka3 = 1
3a1 + 2a2 + a3 = 0
0a1 + 1a2 + 2a3 = 2
5a1 + 4a2 + 3a3 = 0
```
将向量a1、a2、a3代入,得到:
```
a1 + ka3 = 1
3a1 + 2a2 + a3 = 0
a2 + 2a3 = 2
5a1 + 4a2 + 3a3 = 0
```
解出a1、a2、a3的值:
```
a1 = (-1 + k)/2
a2 = (4 - 3k)/2
a3 = (1 - k)/2
```
由于阝 = a1 + a2 + a3,因此:
```
1 = a1 + a2 + a3
= (-1 + k)/2 + (4 - 3k)/2 + (1 - k)/2
```
解得k = 2
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假设$k_1a_1+k_2a_2+k_3a_3=\vec{0}$,则有:
$$k_1(1,1,0)+k_2(0,2,0)+k_3(0,0,1)=(0,0,0)$$
化简得:
$$(k_1, k_1+2k_2, k_3)=(0,0,0)$$
由此可得:
$$k_1=0, \quad k_2=0, \quad k_3=0$$
因此,向量组$a_1=(1,1,0)$,$a_2=(0,2,0)$和$a_3=(0,0,1)$线性无关。
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$$x_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
化简得到
$$\begin{pmatrix} x_1+x_3 \\ 2x_2+3x_3 \\ 5x_2+6x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
解这个线性方程组,可得 $x_1=-x_3, x_2=0$。因此,存在不全为零的系数使得这个向量组线性相关。
可以进一步观察发现,$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ 不在同一平面上,因此它们也不是线性相关的。这说明,线性相关与共面没有必然联系。