设向量组 a1=(1,1,3)T,a2=(2,4,5)T,a3=(1,-1,0)T,a4 =(2,2,6)T. 求向量组的秩和一个极大无关组.

将向量组按行排成矩阵A，则有：

A = [1 1 3;
2 4 5;
1 -1 0;
2 2 6]

对矩阵A进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵U为：

U = [2 4 5;
0 -2 -6;
0 0 -3;
0 0 0]

可以看出U的秩为3，即向量组的秩为3。

由于向量组的列数为3，所以极大无关组中向量的个数也为3。观察U的列向量，可以看出第1、2、3列向量是线性无关的，因此极大无关组为：

a1=(1,1,3)T, a2=(2,4,5)T, a3=(1,-1,0)T

相关问题

设向量组a1=（1，1，1），a2=（1，2，3），a3=（1，3，t）题目；（1）当t为何值时向量组a1，a2，a3线性相关？

当向量组a1，a2，a3线性相关时，存在不全为零的系数k1、k2、k3，使得k1*a1 + k2*a2 + k3*a3 = 0。

将a1，a2，a3的分量代入上式得到：

k1 + k2 + k3 = 0

k1 + 2k2 + 3k3 = 0

k1 + 3k2 + tk3 = 0

构造增广矩阵并对其进行初等行变换，得到：

[1 1 1 0]
[1 2 3 0]
[1 3 t 0]

将第二行减去第一行，第三行减去第一行，得到：

[1 1 1 0]
[0 1 2 0]
[0 2 t-1 0]

将第三行减去2倍的第二行，得到：

[1 1 1 0]
[0 1 2 0]
[0 0 t-5 0]

当t=5时，增广矩阵的最后一列全为0，并且存在非零的行，因此向量组a1，a2，a3线性相关。当t≠5时，增广矩阵的最后一列存在非零元素，因此向量组a1，a2，a3线性无关。

设向量组a1,a2,a3线性无关

如果向量组 a1, a2, a3 线性无关，那么任意一个向量都不可以表示为其它向量的线性组合。也就是说，对于任意一个标量 k1, k2, k3，只有当 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0 时，k1 = k2 = k3 = 0 才成立。

这样的向量组可以作为向量空间的一组基，也就是说，它们能够线性表示向量空间中的所有向量。因此，向量组 a1, a2, a3 的维度为 3，它们可以张成三维空间中的一个平面或整个空间。