已知向量组a1=[3;4;0;8;3]; a2=[1;1;0;2;2]; a3=[2;3;0;6;1]; a4=[9;3;2;1;2]; a5=[0;8;-2;21;10];求出它的最大 无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。

首先将向量组写成矩阵形式：

$$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 & 9 & 0 \\ 4 & 1 & 3 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -2 \\ 8 & 2 & 6 & 1 & 21 \\ 3 & 2 & 1 & 2 & 10 \end{bmatrix}$$

然后求出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩和极大线性无关组。

使用 MATLAB 中的 rref 函数可以求出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行最简形式：

R = rref(A)

得到的结果为：

$$\boldsymbol{R} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

可以看出，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r=4$，因此可以选取前 $r$ 列作为最大无关组，即 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{a}_5$。

我们可以将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 分解为两个矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和 $\boldsymbol{C}$，其中 $\boldsymbol{B}$ 是由最大无关组构成的矩阵，$\boldsymbol{C}$ 是由剩余列构成的矩阵：

$$\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ 8 & 2 & 6 & 21 \\ 3 & 2 & 1 & 10 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 9 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

我们需要找到矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$，然后用 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 乘以矩阵 $\boldsymbol{C}$，即可得到向量 $\boldsymbol{c}$ 在最大无关组下的线性表示：

$$\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ -3 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ -3/2 & 0 & 1 & 0 & 5/2 \\ 31/2 & -2 & -3 & 1 & -13/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 6 \\ 5/2 \\ -13 \end{bmatrix}$$

因此，向量 $\boldsymbol{c} = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}^T$ 在最大无关组 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{a}_5$ 下的线性表示为：

$$\boldsymbol{c} = -7\boldsymbol{a}_1 + 6\boldsymbol{a}_2 + \frac{5}{2}\boldsymbol{a}_3 - 13\boldsymbol{a}_5$$