设向量组a1,a2,a3线性无关，b1=a1+a3,b2=a2+a3,b3=3a1-a2+2a3 讨论b1,b2,b3线性相关性

我们可以用 b1, b2, b3 的线性组合来表示它们是否线性相关。假设存在标量 k1, k2, k3，使得 k1b1 + k2b2 + k3b3 = 0，那么：

k1(a1 + a3) + k2(a2 + a3) + k3(3a1 - a2 + 2a3) = 0

化简得：

(k1 + 3k3)a1 + (-k2 - k3)a2 + (k1 + k2 + 2k3)a3 = 0

由于 a1, a2, a3 线性无关，所以只有当 k1 + 3k3 = 0, -k2 - k3 = 0, k1 + k2 + 2k3 = 0 时，方程组才有非零解。

解方程组得：

k1 = -k2/2, k3 = k2/6

因此，只要 k2 不等于 0，就可以找到非零解，也就是说，b1, b2, b3 线性相关。反之，如果 k2 等于 0，那么只有 k1 = k3 = 0，b1, b2, b3 才线性无关。

综上所述，b1, b2, b3 线性相关的充分必要条件是 k2 不等于 0。

相关问题

如果向量阝=（1，0，k，2），能由向量组a1=（1，3，0，5）a2=（1，2，1，4），a3=（1，1，2，3）线性表示，则k=

我们可以将向量组a1、a2、a3组成一个矩阵A，即：

A = [1 3 0 5;
     1 2 1 4;
     1 1 2 3]

那么向量阝能被向量组a1、a2、a3线性表示，等价于求矩阵A的秩rank(A)和增广矩阵[A|阝]的秩rank([A|阝])是否相等。

我们把增广矩阵[A|阝]进行行变换，得到如下矩阵：

[1 3 0 5 | 1;
 0 -1 1 -1 | -k;
 0 0 1 2 | 0]

通过观察，我们可以发现矩阵A的秩为3，而增广矩阵[A|阝]的秩也为3。因此，向量阝能被向量组a1、a2、a3线性表示。

由于阝=（1，0，k，2），因此我们可以得到如下方程组：

1a1 + 0a2 + ka3 = 1
3a1 + 2a2 + a3 = 0
0a1 + 1a2 + 2a3 = 2
5a1 + 4a2 + 3a3 = 0

将向量a1、a2、a3代入，得到：

a1 + ka3 = 1
3a1 + 2a2 + a3 = 0
a2 + 2a3 = 2
5a1 + 4a2 + 3a3 = 0

解出a1、a2、a3的值：

a1 = (-1 + k)/2
a2 = (4 - 3k)/2
a3 = (1 - k)/2

由于阝 = a1 + a2 + a3，因此：

1 = a1 + a2 + a3
  = (-1 + k)/2 + (4 - 3k)/2 + (1 - k)/2

解得k = 2

解释以下代码u1 = 0;SYMS A1 A2 A3 A4;eqn = u1 == u30_1 + 3a1u21_1 + 3 a1^2 u12_1 +a1^3*u03_1;eqn = subs（eqn， u1， 0）;a1 = 求解（方程， a1）;，其中代码中为什么要使用两个==

这段代码的作用是解出一个多项式函数的系数a1，具体来说，这个多项式函数由四个部分组成，分别是u30_1、3*a1*u21_1、3*a1^2*u12_1和a1^3*u03_1。其中，u30_1、u21_1、u12_1和u03_1是已知的常数。我们可以将这个多项式函数写成如下形式：

u1 = u30_1 + 3*a1*u21_1 + 3*a1^2*u12_1 + a1^3*u03_1

我们希望将u1的系数a1求出来，使得u1等于0。因此，我们需要解决一个方程，将u1代入上述多项式函数中，并令其等于0，得到如下方程：

0 = u30_1 + 3*a1*u21_1 + 3*a1^2*u12_1 + a1^3*u03_1

在这段代码中，使用了双等号"=="是因为它是一种逻辑运算符，用于判断两个表达式是否相等。在这个代码片段中，"=="用于将一个等式赋值给变量eqn，即eqn的值为u1等于u30_1 + 3*a1*u21_1 + 3*a1^2*u12_1 + a1^3*u03_1，这个等式是一个数学上的等式，表示左边的u1等于右边的表达式。因此，这里使用双等号表示等式关系，而不是单个等号表示赋值关系。

接下来，使用subs函数将方程中的u1用0代替，得到一个只含有符号变量的方程。最后，使用solve函数解出a1的值，使得方程成立。