设向量组a1,a2,a3线性无关，b1=a1+a3,b2=a2+a3,b3=3a1-a2+2a3 讨论b1,b2,b3线性相关性

我们可以用 b1, b2, b3 的线性组合来表示它们是否线性相关。假设存在标量 k1, k2, k3，使得 k1b1 + k2b2 + k3b3 = 0，那么：

k1(a1 + a3) + k2(a2 + a3) + k3(3a1 - a2 + 2a3) = 0

化简得：

(k1 + 3k3)a1 + (-k2 - k3)a2 + (k1 + k2 + 2k3)a3 = 0

由于 a1, a2, a3 线性无关，所以只有当 k1 + 3k3 = 0, -k2 - k3 = 0, k1 + k2 + 2k3 = 0 时，方程组才有非零解。

解方程组得：

k1 = -k2/2, k3 = k2/6

因此，只要 k2 不等于 0，就可以找到非零解，也就是说，b1, b2, b3 线性相关。反之，如果 k2 等于 0，那么只有 k1 = k3 = 0，b1, b2, b3 才线性无关。

综上所述，b1, b2, b3 线性相关的充分必要条件是 k2 不等于 0。

相关问题

解释以下代码u1 = 0;SYMS A1 A2 A3 A4;eqn = u1 == u30_1 + 3a1u21_1 + 3 a1^2 u12_1 +a1^3*u03_1;eqn = subs（eqn， u1， 0）;a1 = 求解（方程， a1）;，其中代码中为什么要使用两个==

这段代码的作用是解出一个多项式函数的系数a1，具体来说，这个多项式函数由四个部分组成，分别是u30_1、3*a1*u21_1、3*a1^2*u12_1和a1^3*u03_1。其中，u30_1、u21_1、u12_1和u03_1是已知的常数。我们可以将这个多项式函数写成如下形式：

u1 = u30_1 + 3*a1*u21_1 + 3*a1^2*u12_1 + a1^3*u03_1

我们希望将u1的系数a1求出来，使得u1等于0。因此，我们需要解决一个方程，将u1代入上述多项式函数中，并令其等于0，得到如下方程：

0 = u30_1 + 3*a1*u21_1 + 3*a1^2*u12_1 + a1^3*u03_1

在这段代码中，使用了双等号"=="是因为它是一种逻辑运算符，用于判断两个表达式是否相等。在这个代码片段中，"=="用于将一个等式赋值给变量eqn，即eqn的值为u1等于u30_1 + 3*a1*u21_1 + 3*a1^2*u12_1 + a1^3*u03_1，这个等式是一个数学上的等式，表示左边的u1等于右边的表达式。因此，这里使用双等号表示等式关系，而不是单个等号表示赋值关系。

接下来，使用subs函数将方程中的u1用0代替，得到一个只含有符号变量的方程。最后，使用solve函数解出a1的值，使得方程成立。

计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关 a1=（1，-1，2，3，4）T，a2=（3，-7，8，9，13）T，a3=（-1，-3，0，-3，-3）T，a4=（1，-9，6，3，6）T

可以将这4个向量排成一个矩阵，记为A：


对A进行高斯消元，得到阶梯形矩阵：


其中，第1、2、4列有主元，因此向量组{a1, a2, a4}线性无关，第3列没有主元，因此向量a3可以表示成a1、a2、a4的线性组合，即a3=-3a1-2a2+2a4。所以这4个向量的秩为3，线性相关。