已知函数有函数表： 0 1 2 3 0 0 0 0 求满足下列条件，的三次样条插值函数： 解：

根据题目给出的函数表，可以得到插值节点 x0=0, x1=1, x2=2, x3=3，以及函数值 f0=0, f1=0, f2=0, f3=0。为了求解三次样条插值函数，需要进一步确定其参数，即在每个小区间 [xi, xi+1] 上的三次多项式系数。设在区间 [xi, xi+1] 上的三次多项式为 Si(x)，则需要满足以下条件：

1. Si(xi) = fi，其中 fi 是插值函数在 xi 处的函数值；
2. Si(xi+1) = fi+1，其中 fi+1 是插值函数在 xi+1 处的函数值；
3. Si'(xi+1) = S(i+1)'(xi+1)，即在节点 xi+1 处，函数 Si(x) 和函数 Si+1(x) 的一阶导数相等；
4. Si''(xi+1) = S(i+1)''(xi+1)，即在节点 xi+1 处，函数 Si(x) 和函数 Si+1(x) 的二阶导数相等。

根据上述条件，可以得到以下线性方程组：

1. S0(x0) = f0，即 S0(0) = 0；
2. S0(x1) = f1，即 S0(1) = 0；
3. S1(x1) = f1，即 S1(1) = 0；
4. S1(x2) = f2，即 S1(2) = 0；
5. S2(x2) = f2，即 S2(2) = 0；
6. S2(x3) = f3，即 S2(3) = 0；
7. S0'(x1) = S1'(x1)，即 S0'(1) = S1'(1)；
8. S1'(x2) = S2'(x2)，即 S1'(2) = S2'(2)；
9. S0''(x1) = S1''(x1)，即 S0''(1) = S1''(1)；
10. S1''(x2) = S2''(x2)，即 S1''(2) = S2''(2)。

根据三次多项式的一般形式，可以写出每个小区间内的三次多项式：

Si(x) = ai(x-xi)^3 + bi(x-xi)^2 + ci(x-xi) + di

其中，ai、bi、ci、di 是待求系数。对于第一个小区间 [x0, x1]，可以将 Si(x) 写成以下形式：

S0(x) = a0(x-0)^3 + b0(x-0)^2 + c0(x-0) + 0
S1(x) = a1(x-1)^3 + b1(x-1)^2 + c1(x-1) + 0

对于第二个小区间 [x1, x2]，可以将 Si(x) 写成以下形式：

S1(x) = a2(x-1)^3 + b2(x-1)^2 + c2(x-1) + 0
S2(x) = a3(x-2)^3 + b3(x-2)^2 + c3(x-2) + 0

对于第三个小区间 [x2, x3]，可以将 Si(x) 写成以下形式：

S2(x) = a4(x-2)^3 + b4(x-2)^2 + c4(x-2) + 0
S3(x) = a5(x-3)^3 + b5(x-3)^2 + c5(x-3) + 0

将上述表达式代入条件方程组中，可以得到以下 12 个方程：

1. d0 = 0
2. a0 + b0 + c0 + d0 = 0
3. a1 + b1 + c1 + d1 = 0
4. a1(1-0)^3 + b1(1-0)^2 + c1(1-0) + d1 = 0
5. a2(2-1)^3 + b2(2-1)^2 + c2(2-1) + d2 = 0
6. a2 + b2 + c2 + d2 = 0
7. 3a1(1-0)^2 + 2b1(1-0) + c1 = 3a2(1-1)^2 + 2b2(1-1) + c2
8. 3a2(2-1)^2 + 2b2(2-1) + c2 = 3a3(2-2)^2 + 2b3(2-2) + c3
9. 6a1(1-0) + 2b1 = 6a2(1-1) + 2b2
10. 6a2(2-1) + 2b2 = 6a3(2-2) + 2b3
11. 6a1 = 6a2
12. 6a2 = 6a3

解方程组，可以得到：

a0 = 0, b0 = 0, c0 = 0, d0 = 0
a1 = 0, b1 = 0, c1 = 0, d1 = 0
a2 = 0, b2 = 0, c2 = 0, d2 = 0
a3 = 0, b3 = 0, c3 = 0, d3 = 0
a4 = 0, b4 = 0, c4 = 0, d4 = 0
a5 = 0, b5 = 0, c5 = 0, d5 = 0

因此，在每个小区间中，Si(x) 均为常数函数。由于插值函数需要满足一定的光滑性，因此可以取 Si(x) = 0，得到插值函数为：

S(x) = 0

因此，满足给定条件的三次样条插值函数为 S(x) = 0。