计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关 a1=（1，-1，2，3，4）ᵀ，a2=（3，-7，8，9，13）ᵀ，a3=（-1，-3，0，-3，-3）ᵀ，a4=（1，-9，6，3，6）ᵀ

同样可以将这4个向量排成一个矩阵，记为A：


对A进行高斯消元，得到阶梯形矩阵：


其中，第1、2、4列有主元，因此向量组{a1, a2, a4}线性无关，第3列没有主元，因此向量a3可以表示成a1、a2、a4的线性组合，即a3=-3a1-2a2+2a4。所以这4个向量的秩为3，线性相关。

相关问题

计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关 a1=（1，-1，2，3，4）T，a2=（3，-7，8，9，13）T，a3=（-1，-3，0，-3，-3）T，a4=（1，-9，6，3，6）T

可以将这4个向量排成一个矩阵，记为A：


对A进行高斯消元，得到阶梯形矩阵：


其中，第1、2、4列有主元，因此向量组{a1, a2, a4}线性无关，第3列没有主元，因此向量a3可以表示成a1、a2、a4的线性组合，即a3=-3a1-2a2+2a4。所以这4个向量的秩为3，线性相关。

求下列向量组的秩与一个极大线性无关组 （1）α1=（1，1，1，1）ᵀ， α2=（1，1，-1，-1）ᵀ， α3=（1，-1，-1，1）ᵀ， α4=（-1，-1，-1，1）ᵀ

首先将向量组写成矩阵形式：

[ 1  1  1  1 ]
[ 1  1 -1 -1 ]
[ 1 -1 -1  1 ]
[-1 -1 -1  1 ]

然后对矩阵进行初等行变换，化成行阶梯形矩阵：

[ 1  1  1  1 ]
[ 0  0 -2 -2 ]
[ 0 -2 -2  0 ]
[ 0 -2 -2  2 ]

可以看出，矩阵中有三个非零行，因此向量组的秩为3。我们可以选择前三个向量作为一个极大线性无关组：

α1=（1，1，1，1）ᵀ， α2=（1，1，-1，-1）ᵀ， α3=（1，-1，-1，1）ᵀ

这三个向量线性无关，且添加任何一个向量都会导致线性相关。