设向量组 a1=(1,2,1,2),a2=(1,4,-1,2),a3=(3,5,0,6). 求向量组的秩和一个极大无关组.

将这三个向量排成一个矩阵，然后对其进行行变换，化为阶梯形矩阵，得到：

1  2  1  2
0  2 -2  0
0  0  3  4

可以看出，这个矩阵中非零行的个数为3，所以向量组的秩为3。

接下来，找出一个极大无关组，即从原向量组中选出一个最大的线性无关向量组。

观察阶梯形矩阵中的非零行，可以发现第1、2、3行都是线性无关的，因此可以选出极大无关组为：

(1, 2, 1, 2), (0, 2, -2, 0), (0, 0, 3, 4)

相关问题

设向量组a1=（1，1，1），a2=（1，2，3），a3=（1，3，t）题目；（1）当t为何值时向量组a1，a2，a3线性相关？

当向量组a1，a2，a3线性相关时，存在不全为零的系数k1、k2、k3，使得k1*a1 + k2*a2 + k3*a3 = 0。

将a1，a2，a3的分量代入上式得到：

k1 + k2 + k3 = 0

k1 + 2k2 + 3k3 = 0

k1 + 3k2 + tk3 = 0

构造增广矩阵并对其进行初等行变换，得到：

[1 1 1 0]
[1 2 3 0]
[1 3 t 0]

将第二行减去第一行，第三行减去第一行，得到：

[1 1 1 0]
[0 1 2 0]
[0 2 t-1 0]

将第三行减去2倍的第二行，得到：

[1 1 1 0]
[0 1 2 0]
[0 0 t-5 0]

当t=5时，增广矩阵的最后一列全为0，并且存在非零的行，因此向量组a1，a2，a3线性相关。当t≠5时，增广矩阵的最后一列存在非零元素，因此向量组a1，a2，a3线性无关。

设向量组 a1=(1,1,3)T,a2=(2,4,5)T,a3=(1.-1.0)T,a4=(2，2，6)T. 求向量组的秩和一个极大无关组.

我们可以将这个向量组按行排成矩阵，然后通过高斯消元法将矩阵化为行阶梯形式，从而求出矩阵的秩和极大无关组。

具体的步骤如下：

将向量组按行排成矩阵：

1  1   3
2  4   5
1 -1   0
2  2   6

对矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形式：

1  1   3
0  2  -1
0  0  -3
0  0   0

所以，秩为3，也就是这个向量组的维数为3。

极大无关组为矩阵中的前三行，即：

1  1   3
0  2  -1
0  0  -3