向量组a1=(-1,3,1)^T、a2=(2,1,0)^T、a3=(1,4,1)^T的秩是
时间: 2024-05-05 20:22:44 浏览: 18
首先把这三个向量写成矩阵的形式,并作行变换:
```
-1 3 1
2 1 0
1 4 1
```
将第1行乘以2加到第2行,将第1行加到第3行,得到新矩阵:
```
-1 3 1
0 7 2
0 7 2
```
再将第2行乘以1/7,得到新矩阵:
```
-1 3 1
0 1 2/7
0 7 2
```
再将第2行乘以-7加到第3行,得到新矩阵:
```
-1 3 1
0 1 2/7
0 0 12/7
```
因此,这三个向量的秩为3。
相关问题
设向量组a1=(1,1,1),a2=(1,2,3),a3=(1,3,t)题目;(1)当t为何值时向量组a1,a2,a3线性相关?
向量组a1,a2,a3线性相关当且仅当存在不全为零的实数k1,k2,k3,使得k1*a1+k2*a2+k3*a3=0。即:
k1 * (1, 1, 1) + k2 * (1, 2, 3) + k3 * (1, 3, t) = (0, 0, 0)
化简得到:
(k1 + k2 + k3, k2 + 3k3, k3t + 3k2 + k1) = (0, 0, 0)
由于k1、k2、k3不全为零,所以k1 + k2 + k3 ≠ 0。因此需要满足以下两个条件:
1. k2 + 3k3 = 0
2. k3t + 3k2 + k1 = 0
解得:
k2 = -3k3
k1 = -9k3
t = -8
因此,当t=-8时,向量组a1,a2,a3线性相关。
设向量组a1,a2,a3线性无关,b1=a1+a3,b2=a2+a3,b3=3a1-a2+2a3 讨论b1,b2,b3线性相关性
我们可以用 b1, b2, b3 的线性组合来表示它们是否线性相关。假设存在标量 k1, k2, k3,使得 k1b1 + k2b2 + k3b3 = 0,那么:
k1(a1 + a3) + k2(a2 + a3) + k3(3a1 - a2 + 2a3) = 0
化简得:
(k1 + 3k3)a1 + (-k2 - k3)a2 + (k1 + k2 + 2k3)a3 = 0
由于 a1, a2, a3 线性无关,所以只有当 k1 + 3k3 = 0, -k2 - k3 = 0, k1 + k2 + 2k3 = 0 时,方程组才有非零解。
解方程组得:
k1 = -k2/2, k3 = k2/6
因此,只要 k2 不等于 0,就可以找到非零解,也就是说,b1, b2, b3 线性相关。反之,如果 k2 等于 0,那么只有 k1 = k3 = 0,b1, b2, b3 才线性无关。
综上所述,b1, b2, b3 线性相关的充分必要条件是 k2 不等于 0。