设a1=(1+λ,1,1)T，a2 =(1,1+λ,1)T，a3=(1,1,1+λ)T，β= (0,λ,λ²)T，当λ取什么值时:(1)β不能由a1,a2,a3线性表示? (2)β可由a1，a2，a3线性表示，并写出该表示式

(1) 当λ不等于0时，β可以由a1，a2，a3线性表示。因为此时a1，a2，a3三个向量线性无关，可以构成一组基，任何一个三维向量都可以由这三个向量线性表示。

(2) 当λ等于0时，β不能由a1，a2，a3线性表示。因为此时a1 + a2 + a3 = (3, 3, 3)T，而β不在a1 + a2 + a3的张成空间中，所以不能由a1，a2，a3线性表示。

当λ不等于0时，β可由a1，a2，a3线性表示。具体地，我们可以构造出一个线性组合：

β = (λ²-λ)a1 - λa2 + a3

验证一下，可以发现：

(λ²-λ)a1 - λa2 + a3 = (λ²-λ)(1+λ,1,1)T - λ(1,1+λ,1)T + (1,1,1+λ)T
= (λ²-λ+λ-λ², λ²-λ+λ, λ²-λ+λ+λ²)T
= (0, λ, λ²)T

因此，β可由a1，a2，a3线性表示，并且表示式为 (λ²-λ)a1 - λa2 + a3。

相关问题

已知数列递推式为a1=1,a2i=ai+1

这个数列的递推式是a1=1，an=an-1 + 1。根据这个递推式，我们可以得到数列的前几项为：a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，...。

这个数列的规律很明显，每一项都比前一项大1。所以，数列中每一项的值都是前一项的后继者，也就是它前面所有项的数值总和。因此，我们可以得到数列的通项公式为an=n。

通过递推式分析，我们可以得出数列的通项公式为an=n，其中n表示数列的第n项。也就是说，数列中的每一项都等于它的下标值。根据这个公式，我们可以很方便地求出数列的任意一项的值。

例如，要求数列的第10项的值，根据通项公式an=n，我们可以得到a10=10。同样地，如果要求数列的第100项的值，根据通项公式可以得到a100=100。

总结起来，这个数列的递推式为a1=1，an=an-1 + 1，通项公式为an=n。根据通项公式，我们可以轻松求出数列的任意一项的值。

设向量组a1,a2,a3线性无关，b1=a1+a3,b2=a2+a3,b3=3a1-a2+2a3 讨论b1,b2,b3线性相关性

我们可以用 b1, b2, b3 的线性组合来表示它们是否线性相关。假设存在标量 k1, k2, k3，使得 k1b1 + k2b2 + k3b3 = 0，那么：

k1(a1 + a3) + k2(a2 + a3) + k3(3a1 - a2 + 2a3) = 0

化简得：

(k1 + 3k3)a1 + (-k2 - k3)a2 + (k1 + k2 + 2k3)a3 = 0

由于 a1, a2, a3 线性无关，所以只有当 k1 + 3k3 = 0, -k2 - k3 = 0, k1 + k2 + 2k3 = 0 时，方程组才有非零解。

解方程组得：

k1 = -k2/2, k3 = k2/6

因此，只要 k2 不等于 0，就可以找到非零解，也就是说，b1, b2, b3 线性相关。反之，如果 k2 等于 0，那么只有 k1 = k3 = 0，b1, b2, b3 才线性无关。

综上所述，b1, b2, b3 线性相关的充分必要条件是 k2 不等于 0。