如果行列式不为零,则向量线性无关;如果行列式为零,则向量线性相关为什么
时间: 2023-10-04 20:09:32 浏览: 421
行列式是一个矩阵的一个重要的数学特征,它可以用来判断向量组的线性相关性。如果一个矩阵的行列式不等于零,那么这个矩阵就是可逆的,也就是说它的逆矩阵存在。在向量的情况下,如果向量组的行列式不等于零,则向量组线性无关,因为存在唯一的一组非零系数可以使得向量线性组合等于零。
反之,如果向量组的行列式等于零,则向量组线性相关,因为存在一组非零系数使得向量线性组合等于零。这是因为行列式等于零意味着矩阵不可逆,也就是说矩阵的列向量不是线性无关的。所以,如果一个向量组的行列式为零,它们一定是线性相关的。
相关问题
行列式等于0必有一列向量是其余列向量的线性组合
这个命题是错误的。如果一个矩阵的行列式等于0,那么它意味着矩阵的行向量或列向量线性相关。但是,并不一定意味着其中有一列向量是其余列向量的线性组合。例如,下面这个矩阵的行列式为0:
$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5
\end{bmatrix}$
但是它的每一列向量都不是其余列向量的线性组合。因此,这个命题是不正确的。
为什么行列式互换有时候可以直接换有时候需要依次互换
行列式互换有时候可以直接换,有时候需要依次互换,其关键在于行列式中的两行或两列是否线性相关。
如果行列式中的两行或两列是线性无关的,那么它们可以直接互换,而不会影响行列式的值。这是因为,对于线性无关的两行或两列,它们所在的向量空间的维度为2,即它们可以张成平面。因此,两行或两列的互换只会改变平面的方向,而不会改变平面的面积,也就不会改变行列式的值。
然而,如果行列式中的两行或两列是线性相关的,那么它们不能直接互换,而需要按照顺序依次互换。这是因为,对于线性相关的两行或两列,它们所在的向量空间的维度只有1,即它们张成的是一条直线。因此,两行或两列的互换会改变直线的方向和长度,进而改变行列式的值。为了保持行列式的值不变,需要按照顺序依次互换,使得互换后的两行或两列线性无关,从而保持行列式的值不变。
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