线性相关线性无关是什么
时间: 2023-08-24 11:50:13 浏览: 86
在线性代数中,我们将向量集合称为线性相关(linearly dependent)或线性无关(linearly independent),具体定义如下:
若向量集合 $v_1,v_2,\cdots,v_n$ 中存在一组不全为零的数 $c_1,c_2,\cdots,c_n$,使得 $c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n=\mathbf{0}$,则称向量集合 $v_1,v_2,\cdots,v_n$ 线性相关;
若向量集合 $v_1,v_2,\cdots,v_n$ 中不存在一组不全为零的数 $c_1,c_2,\cdots,c_n$,使得 $c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n=\mathbf{0}$,则称向量集合 $v_1,v_2,\cdots,v_n$ 线性无关。
简单来说,如果一个向量集合中存在一组线性组合的系数不全为零,可以使得这个线性组合等于零向量,那么这个向量集合就是线性相关的,否则就是线性无关的。
这个概念在矩阵和行列式的计算中很重要,因为线性相关的向量集合中存在冗余向量,对于矩阵和行列式的计算会造成影响,而线性无关的向量集合中的向量则可以张成一个更大的向量空间,使得计算更加方便。
相关问题
线性相关和线性无关的区别
线性相关和线性无关是线性代数中的概念。
当向量组中存在一个向量是其他向量的线性组合时,这个向量组就是线性相关的。也就是说,在线性相关的向量组中,存在某个向量可以用其他向量的线性组合表示出来。
而当向量组中的任何一个向量都不能表示成其他向量的线性组合时,这个向量组就是线性无关的。也就是说,在线性无关的向量组中,任何向量都不能表示成其他向量的线性组合。
简单来说,线性相关的向量组中存在冗余的向量,而线性无关的向量组中每个向量都是必要的。
线性相关和线性无关举例
假设有两个二维向量$\vec{v_1}=(1,2)$和$\vec{v_2}=(2,4)$,它们可以写成如下形式的线性组合:
$$
\begin{aligned}
&a\vec{v_1}+b\vec{v_2}\\
=&a(1,2)+b(2,4)\\
=&(a+2b,2a+4b)
\end{aligned}
$$
如果$a$和$b$不同时为0,那么$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$就是线性相关的,因为它们可以通过一个非零的线性组合得到零向量$(0,0)$。如果$a$和$b$都为0,那么$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$就是线性无关的。
另外,如果有三个向量$\vec{v_1}=(1,0,1)$,$\vec{v_2}=(0,1,1)$和$\vec{v_3}=(1,1,2)$,我们可以写出如下的线性组合:
$$
\begin{aligned}
&a\vec{v_1}+b\vec{v_2}+c\vec{v_3}\\
=&a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,2)\\
=&(a+c,b+c,2c+a)
\end{aligned}
$$
如果$a=1$,$b=-1$,$c=1$,那么$\vec{v_1}$、$\vec{v_2}$和$\vec{v_3}$就是线性相关的,因为它们可以通过一个非零的线性组合得到零向量$(0,0,0)$。如果不存在这样的非零线性组合,那么$\vec{v_1}$、$\vec{v_2}$和$\vec{v_3}$就是线性无关的。