追赶法求解方程组matlab（带注释）

追赶法（Gauss-Seidel method），又称为迭代改进法，是一种用于数值求解线性代数方程组的迭代算法，特别是在处理大型稀疏矩阵时效率较高。在MATLAB中，可以使用内置函数`linsolve`或`gmres`来利用追赶法，但我将为你演示如何手动实现基本的追赶法步骤：

% 假设我们有一个线性方程组 Ax = b
A = % 你的系数矩阵；例如，一个3x3的例子
A = [2 1 0;
     1 2 1;
     0 1 2]; % 稀疏矩阵

b = % 目标向量
b = [5; 8; 9]; 

% 初始化猜测解 x_0 和误差向量 e
x = zeros(size(A,2), 1); % 默认初始解全为0
e = b;

% 迭代过程（追赶法）
for iter = 1:100 % 设置迭代次数（通常会设置一个较大的值，直到满足收敛条件）
    % 计算当前行对每个元素的修正值
    for i = 1:size(A,1)
        if i == 1 % 第一行特殊处理，因为没有上方元素
            x(1) = (b(i) - A(i,2:end)*x(2:end)) / A(i,1);
        else
            x(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:end)*x(i+1:end)) / A(i,i);
        end
    end
    
    % 更新误差向量
    e = b - A*x;
    
    % 检查收敛：如果误差足够小，则停止迭代
    if norm(e, 'inf') < tol % tol是你设定的收敛阈值
        break;
    end
end

% 输出最终解
solution = x;

% 可视化结果和误差
disp("Solution after " + iter + " iterations:");
disp(x);
disp("Residual error: ");
disp(norm(e));