线性回归回归系数的最大似然估计

线性回归中的回归系数的最大似然估计是一种统计方法，用于确定数据集的最佳拟合直线，以便最小化预测值与实际观测值之间的残差平方和。假设我们有一个简单线性模型 y = β0 + β1 * x + ε，其中y是因变量，x是自变量，β0是截距，β1是斜率，ε是随机误差。

最大似然估计的目标是找到使得数据产生这些观测结果的概率最大的参数组合（β0和β1）。具体来说，每个观察点(x_i, y_i)都有一个概率分布，通常假设为正态分布 N(β0 + β1*x_i, σ^2)，σ^2是误差项的方差。对于所有观察点，我们希望找到使得所有观测值落在这个分布的可能性最大的参数值。

计算最大似然估计的过程就是求解下面的优化问题：
1. 对于给定的数据点，最大化关于β0和β1的联合概率 P(y|x; β0, β1)
2. 寻找β0和β1使得乘积P(y_1|x_1; β0, β1) * ... * P(y_n|x_n; β0, β1) 最大

通过求导并令导数等于零，可以得到以下方程组：
- ∂[log(P)]/∂β0 = 0
- ∂[log(P)]/∂β1 = 0

这将给出β0和β1的估计值，即线性回归模型的斜率和截距。在实际操作中，常常会简化为对样本均值和样本协方差的分析。