用Matlab中的牛顿法求解非线性方程组： p5=e^(−β)/z p4=(1/z)[(p5+p4+p3+p2)^K−(p4+p3+p2)^K] p3=(1/z)[(p4+p3)^K−p3^K] p2=(1/z)p3^K p1=(1/z)[(p4+p3+p2)^K−(p4+p3)^K] 其中p1+p2+p3+p4+p5=1，且归一化因子z=e^(−β)+(1−p1)^K，其中β和K是参数，K只能取整数。 要求能够给出任意5<K<20，10<β<50下方程组的解。 在某些参数下迭代法失效，并给出解决办法。

首先，利用牛顿法求解非线性方程组需要构造雅可比矩阵。对于该方程组，雅可比矩阵为：

J = [ -e^(-β)/z, 0, 0, 0, e^(-β)/z;
K*(p5+p4+p3+p2)^(K-1)/z, K*(p5+p4+p3+p2)^(K-1)/z, K*(p5+p4+p3+p2)^(K-1)/z, K*(p5+p4+p3+p2)^(K-1)/z, -K*(1-p1)^K/z;
0, K*(p4+p3)^K/z, K*(p4+p3)^K/z-K*p3^(K-1)/z, -K*p3^(K-1)/z, 0;
0, 0, K*p3^(K-1)/z, 0, 0;
K*(p4+p3+p2)^(K-1)/z-K*(p4+p3)^(K-1)/z, K*(p4+p3+p2)^(K-1)/z-K*(p4+p3)^(K-1)/z, K*(p4+p3)^(K-1)/z, 0, 0];

然后，我们可以使用Matlab中的牛顿法函数`fsolve`进行求解。具体代码如下：

function [p1, p2, p3, p4, p5] = solve_equations(K, beta)
    p0 = [0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2]; % 初始值
    options = optimoptions('fsolve', 'Display', 'off'); % 配置选项
    f = @(p) [exp(-beta)/sum(p) - p(5);
              (p(5)+p(4)+p(3)+p(2))^K - (p(4)+p(3)+p(2))^K - p(4);
              (p(4)+p(3))^K - p(3)^K - p(2);
              p(3)^K - p(2);
              (p(4)+p(3)+p(2))^K - (p(4)+p(3))^K - p(1)];
    [p, ~, exitflag] = fsolve(f, p0, options); % 求解方程组
    if exitflag <= 0 % 如果fsolve无法收敛，使用fmincon进行优化
        f_obj = @(p) sum((f(p)).^2); % 定义目标函数
        lb = [0, 0, 0, 0, 0]; % 下界
        ub = [1, 1, 1, 1, 1]; % 上界
        Aeq = [1, 1, 1, 1, 1]; % 约束矩阵
        beq = 1; % 约束值
        p = fmincon(f_obj, p0, [], [], Aeq, beq, lb, ub); % 求解优化问题
    end
    p1 = p(1);
    p2 = p(2);
    p3 = p(3);
    p4 = p(4);
    p5 = p(5);
end

最后，我们可以使用该函数求解任意5<K<20，10<β<50下方程组的解。如果使用`fsolve`无法收敛，我们可以使用`fmincon`进行优化求解。