MATLAB求解方程组：非线性方程组求解实战，牛顿法与拟牛顿法的奥秘

# 1. 方程组求解概述**

方程组求解是数学和科学计算中的一项基本任务，涉及寻找一组方程的解，其中每个方程都包含未知变量。方程组的求解方法有多种，具体选择取决于方程组的类型和复杂程度。

对于非线性方程组，牛顿法和拟牛顿法是两种常用的求解方法。牛顿法是一种迭代方法，在每次迭代中使用泰勒展开式来逼近方程组的解。拟牛顿法也是一种迭代方法，但它使用拟牛顿矩阵来近似牛顿法的海森矩阵，从而提高计算效率。

# 2. 非线性方程组求解方法

非线性方程组是指方程组中包含非线性项的方程组，其求解方法与线性方程组求解方法存在显著差异。非线性方程组求解方法主要分为两类：牛顿法和拟牛顿法。

### 2.1 牛顿法

#### 2.1.1 牛顿法的原理

牛顿法是一种迭代法，其基本思想是利用当前解的泰勒展开式来构造下一次迭代的解。对于一个非线性方程组：

F(x) = 0

其中，F(x) 为非线性函数，x 为待求解变量。

牛顿法的第 k 次迭代更新公式为：

x^(k+1) = x^k - J(x^k)^-1 F(x^k)

其中，J(x) 为 F(x) 的雅可比矩阵，即：

J(x) = [∂F_i/∂x_j]

#### 2.1.2 牛顿法的步骤

牛顿法的求解步骤如下：

1. 给定初始解 x^0。
2. 计算 F(x^k) 和 J(x^k)。
3. 求解线性方程组 J(x^k)Δx = -F(x^k)。
4. 更新解：x^(k+1) = x^k + Δx。
5. 重复步骤 2-4，直至满足收敛条件。

### 2.2 拟牛顿法

#### 2.2.1 拟牛顿法的原理

拟牛顿法也是一种迭代法，其基本思想是利用当前解的近似海森矩阵来构造下一次迭代的解。对于一个非线性方程组：

F(x) = 0

其中，F(x) 为非线性函数，x 为待求解变量。

拟牛顿法的第 k 次迭代更新公式为：

x^(k+1) = x^k - B(x^k)^-1 F(x^k)

其中，B(x) 为 F(x) 的近似海森矩阵。

#### 2.2.2 拟牛顿法的常见算法

拟牛顿法有多种不同的算法，其中最常用的算法包括：

* BFGS 算法
* DFP 算法
* SR1 算法

# 3. MATLAB求解非线性方程组实战

### 3.1 牛顿法在MATLAB中的实现

#### 3.1.1 编写牛顿法求解器

function [x, iter] = newton(f, J, x0, tol, maxIter)
% 牛顿法求解非线