MATLAB求解方程组：求根算法大比拼，精度与效率的完美平衡

# 1. MATLAB求解方程组：理论基础**

MATLAB作为一种强大的科学计算工具，提供了丰富的求解方程组的方法。本章将探讨求解方程组的理论基础，为后续章节的实践应用奠定基础。

**1.1 方程组的概念**

方程组由一组方程组成，每个方程表示一个等式关系。方程组的求解目标是找到一组变量值，使得所有方程同时成立。方程组的类型包括线性方程组和非线性方程组。

**1.2 线性方程组**

线性方程组的形式为Ax=b，其中A是一个系数矩阵，x是未知变量向量，b是常数向量。求解线性方程组可以使用高斯消去法或LU分解法等方法，这些方法通过矩阵操作将方程组化为上三角形或对角形，从而求得变量值。

# 2. 求根算法的理论与实践

### 2.1 线性方程组求解

线性方程组求解是求根算法中最为基础和重要的内容之一。在实际应用中，我们经常会遇到需要求解线性方程组的问题，例如：

- 物理学中的力学平衡方程
- 电路学中的基尔霍夫电流定律
- 经济学中的投入产出模型

线性方程组的求解方法主要有高斯消去法和LU分解法。

#### 2.1.1 高斯消去法

高斯消去法是一种经典的线性方程组求解方法，其基本思想是通过一系列行变换将系数矩阵化为上三角矩阵，然后从上到下逐个求解未知量。

% 给定线性方程组系数矩阵A和右端向量b
A = [2 1 1; 4 3 2; 8 7 4];
b = [1; 2; 3];

% 高斯消去法求解
for i = 1:size(A, 1)
    % 对第i行进行归一化
    A(i, :) = A(i, :) / A(i, i);
    b(i) = b(i) / A(i, i);
    % 消去第i行以下的元素
    for j = i+1:size(A, 1)
        A(j, :) = A(j, :) - A(i, :) * A(j, i);
        b(j) = b(j) - b(i) * A(j, i);
    end
end

% 回代求解未知量
x = zeros(size(A, 1), 1);
for i = size(A, 1):-1:1
    x(i) = (b(i) - A(i, i+1:end) * x(i+1:end)) / A(i, i);
end

**代码逻辑分析：**

1. 对系数矩阵A和右端向量b进行归一化，使得系数矩阵的对角线元素为1。
2. 从第2行开始，依次对系数矩阵进行行变换，消去第i行以下的元素。
3. 将系数矩阵化为上三角矩阵