查阅文献，整理出低通采样定理和带通采样定理的基本理论，包括时域表达式、频域表 达式以及信号恢复表达式；完成对低通采样过程和带通采样过程的模拟，建立冲击函数模型， 对采样结果进行信号恢复，验证低通、带通采样定理的正确性。

低通采样定理是指：如果一个信号在频域中的最高频率为 $f_{max}$，则将其进行带限制采样，即在采样时加一个低通滤波器，使采样频率为 $f_s \geq 2f_{max}$，则可以完全恢复原信号。

该定理的时域表达式为：

$$
x_s(t) = x(t)p(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)p(t-nT_s)
$$

其中 $x(t)$ 为原信号，$x_s(t)$ 为采样后的信号，$p(t)$ 为采样脉冲，$T_s$ 为采样周期。

该定理的频域表达式为：

$$
X_s(f) = \frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f-nf_s)
$$

其中 $X(f)$ 为原信号的频谱，$X_s(f)$ 为采样后信号的频谱，$f_s$ 为采样频率。

信号恢复表达式为：

$$
x_r(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_s(nT_s)q(t-nT_s)
$$

其中 $x_r(t)$ 为恢复后的信号，$q(t)$ 为重建滤波器。

带通采样定理是指：如果一个信号在频域中的最高频率为 $f_{max}$，则将其进行带限制采样，即在采样时加一个带通滤波器，使采样频率为 $f_s \geq 2B$，其中 $B$ 为带宽，即信号在频域中的宽度，则可以完全恢复原信号。

该定理的时域表达式为：

$$
x_s(t) = x(t)p(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)p(t-nT_s)
$$

其中 $x(t)$ 为原信号，$x_s(t)$ 为采样后的信号，$p(t)$ 为采样脉冲，$T_s$ 为采样周期。

该定理的频域表达式为：

$$
X_s(f) = \frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f-nf_s)H(f-nf_s)
$$

其中 $X(f)$ 为原信号的频谱，$X_s(f)$ 为采样后信号的频谱，$f_s$ 为采样频率，$H(f)$ 为带通滤波器的频率响应。

信号恢复表达式为：

$$
x_r(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_s(nT_s)q(t-nT_s)
$$

其中 $x_r(t)$ 为恢复后的信号，$q(t)$ 为重建滤波器。

为了验证低通采样定理和带通采样定理的正确性，可以进行如下模拟：

1. 生成一个信号，并将其进行低通或带通采样，得到采样后的信号。

2. 对采样后的信号进行重建，得到恢复后的信号。

3. 将恢复后的信号与原信号进行比较，计算它们之间的误差，以验证定理的正确性。

下面是一个MATLAB代码的示例，模拟了低通采样和带通采样的过程，以及信号的重建和误差计算：

% 生成一个信号
fs = 1000; % 采样频率
t = 0:1/fs:1; % 时间向量
f1 = 50; % 信号的频率
x = sin(2*pi*f1*t); % 原信号

% 低通采样
fmax = 100; % 最高频率
fs1 = 2*fmax; % 采样频率
Ts1 = 1/fs1; % 采样周期
p1 = rectpuls(t, Ts1); % 采样脉冲
xs1 = x.*p1; % 采样后的信号

% 带通采样
B = 200; % 带宽
fs2 = 2*B; % 采样频率
Ts2 = 1/fs2; % 采样周期
f0 = 100; % 带通中心频率
p2 = rectpuls(t, Ts2).*cos(2*pi*f0*t); % 采样脉冲
xs2 = x.*p2; % 采样后的信号

% 低通采样信号的重建
q1 = sinc(t/Ts1); % 重建滤波器
xr1 = conv(xs1, q1, 'same'); % 重建后的信号

% 带通采样信号的重建
H = @(f) rectpuls(f/B, 1); % 带通滤波器的频率响应
q2 = @(t) 2*B*sinc(2*B*t).*cos(2*pi*f0*t); % 重建滤波器
xr2 = conv(xs2, q2(t), 'same'); % 重建后的信号

% 计算误差
err1 = norm(x-xr1)/norm(x);
err2 = norm(x-xr2)/norm(x);

% 绘制图形
figure;
subplot(2,2,1);
plot(t, x);
title('原信号');
subplot(2,2,2);
plot(t, xs1);
title('低通采样后的信号');
subplot(2,2,3);
plot(t, xr1);
title('低通采样信号的重建');
subplot(2,2,4);
plot(t, abs(x-xr1));
title(['误差：', num2str(err1)]);

figure;
subplot(2,2,1);
plot(t, x);
title('原信号');
subplot(2,2,2);
plot(t, xs2);
title('带通采样后的信号');
subplot(2,2,3);
plot(t, xr2);
title('带通采样信号的重建');
subplot(2,2,4);
plot(t, abs(x-xr2));
title(['误差：', num2str(err2)]);

注意，在实际应用中，采样过程中会产生量化误差，也会存在滤波器的非线性等问题，因此实际恢复的信号可能存在一定的误差。