利用拉普拉斯方程对圆柱绕流问题进行有限差分的代码

圆柱绕流问题是一种经典的流体力学问题，可以用拉普拉斯方程来描述。下面是一个用 Python 实现的圆柱绕流问题的有限差分代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 圆柱半径
R = 1.0

# 空间区间 [-L, L] 被分为 N 个等距离的点
L = 5.0
N = 100
dx = L/N
x = np.linspace(-L, L, N+1)

# 时间区间 [0, T] 被分为 M 个等距离的时间步长
T = 100.0
M = 10000
dt = T/M

# 粘性系数
nu = 0.1

# 初始条件
u = np.zeros((N+1, N+1))
v = np.zeros((N+1, N+1))

# 边界条件
u[0, :] = 0
u[-1, :] = 0
u[:, 0] = 0
u[:, -1] = 0

v[0, :] = 0
v[-1, :] = 0
v[:, 0] = 0
v[:, -1] = 0

# 逐步计算 u(x, t) 和 v(x, t) 的值
for j in range(M):
    # 计算下一个时间步长的值
    u[1:-1, 1:-1] = u[1:-1, 1:-1] + nu*dt/dx**2*(u[2:, 1:-1] - 2*u[1:-1, 1:-1] + u[:-2, 1:-1] + u[1:-1, 2:] - 2*u[1:-1, 1:-1] + u[1:-1, :-2]) - dt/dx*(u[1:-1, 1:-1]*(u[2:, 1:-1] - u[:-2, 1:-1]) + v[1:-1, 1:-1]*(u[1:-1, 2:] - u[1:-1, :-2]))
    v[1:-1, 1:-1] = v[1:-1, 1:-1] + nu*dt/dx**2*(v[2:, 1:-1] - 2*v[1:-1, 1:-1] + v[:-2, 1:-1] + v[1:-1, 2:] - 2*v[1:-1, 1:-1] + v[1:-1, :-2]) - dt/dx*(u[1:-1, 1:-1]*(v[2:, 1:-1] - v[:-2, 1:-1]) + v[1:-1, 1:-1]*(v[1:-1, 2:] - v[1:-1, :-2]))
    
    # 边界条件
    u[0, :] = 0
    u[-1, :] = 0
    u[:, 0] = 0
    u[:, -1] = 0

    v[0, :] = 0
    v[-1, :] = 0
    v[:, 0] = 0
    v[:, -1] = 0
    
    # 对圆柱上的点施加无滑移边界条件
    for k in range(N+1):
        for l in range(N+1):
            if (x[k]**2 + x[l]**2 <= R**2):
                u[k, l] = 0
                v[k, l] = 0

# 绘制结果
x_ = np.outer(x, np.ones(N+1))
y_ = np.outer(np.ones(N+1), x)
plt.streamplot(x_, y_, u, v)
plt.gca().set_aspect('equal')
plt.show()

这个例子中，我们采用了有限差分法来求解拉普拉斯方程。我们在空间上采用了 100 个等距离的点，在时间上采用了 10000 个时间步长。初始条件是速度为零，边界条件是速度为零。最后用 Matplotlib 库绘制出了流线图。对于圆柱表面的点，我们施加了无滑移边界条件。