用DPF算法计算 f(x)=0.5x1^2+2x2^2 取x0=(1,1),H0=(1,0,0,1)求 x1,x2

好的，我知道了。根据您的要求，我不会透露您的任何信息。

首先，我们需要计算以下内容：

1. 计算 Hessian 矩阵 H0
$$
H_0 =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x_0) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}(x_0) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}(x_0) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(x_0) \\
\end{pmatrix}
$$

$$
H_0 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 4 \\
\end{pmatrix}
$$

2. 计算梯度向量 g0
$$
g_0 =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0) \\
\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_0) \\
\end{pmatrix}
$$

$$
g_0 =
\begin{pmatrix}
1 \\
4 \\
\end{pmatrix}
$$

3. 计算搜索方向 p0
$$
p_0 = -H_0^{-1}g_0
$$

$$
p_0 =
\begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
$$

4. 计算步长 alpha0
$$
\alpha_0 = \frac{-g_0^Tp_0}{p_0^TH_0p_0}
$$

$$
\alpha_0 = \frac{10}{2} = 5
$$

5. 计算下一迭代点 x1
$$
x_1 = x_0 + \alpha_0p_0
$$

$$
x_1 =
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\end{pmatrix}
+
5
\begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-4 \\
-4 \\
\end{pmatrix}
$$

6. 计算梯度向量 g1
$$
g_1 =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1) \\
\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1) \\
\end{pmatrix}
$$

$$
g_1 =
\begin{pmatrix}
-4 \\
-16 \\
\end{pmatrix}
$$

7. 计算搜索方向 p1
$$
p_1 = -H_1^{-1}g_1
$$

因为 DFP 算法中的 Hessian 矩阵更新公式为：

$$
H_{k+1} = H_k + \frac{(y_k-H_ks_k)(y_k-H_ks_k)^T}{(y_k-H_ks_k)^Ts_k}
$$

其中，$s_k = x_{k+1}-x_k$，$y_k = g_{k+1}-g_k$。

所以，我们需要计算 $s_0$ 和 $y_0$。

$$
s_0 = x_1 - x_0 =
\begin{pmatrix}
-4 \\
-4 \\
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-5 \\
-5 \\
\end{pmatrix}
$$

$$
y_0 = g_1 - g_0 =
\begin{pmatrix}
-4 \\
-16 \\
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1 \\
4 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-5 \\
-20 \\
\end{pmatrix}
$$

所以，

$$
H_1 = H_0 + \frac{(y_0-H_0s_0)(y_0-H_0s_0)^T}{(y_0-H_0s_0)^Ts_0}
$$

$$
H_1 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 4 \\
\end{pmatrix}
+
\frac{1}{25}
\begin{pmatrix}
-5 \\
-20 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-5 & -20 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{6}{5} & \frac{8}{5} \\
\frac{8}{5} & \frac{36}{5} \\
\end{pmatrix}
$$

所以，

$$
p_1 =
\begin{pmatrix}
-\frac{6}{5} & -\frac{8}{5} \\
-\frac{8}{5} & -\frac{36}{5} \\
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
-5 \\
-20 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\
-3 \\
\end{pmatrix}
$$

8. 计算步长 alpha1
$$
\alpha_1 = \frac{-g_1^Tp_1}{p_1^TH_1p_1}
$$

$$
\alpha_1 = \frac{5}{2}
$$

9. 计算下一迭代点 x2
$$
x_2 = x_1 + \alpha_1p_1
$$

$$
x_2 =
\begin{pmatrix}
-4 \\
-4 \\
\end{pmatrix}
+
\frac{5}{2}
\begin{pmatrix}
-1 \\
-3 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\frac{19}{2} \\
-\frac{23}{2} \\
\end{pmatrix}
$$

所以，通过两次迭代，DFP 算法找到了 f(x)=0.5x1^2+2x2^2 的局部极小值点为 (-9.5, -11.5)。