同余方程组matlab

在MATLAB中，可以使用“mod”函数和“rem”函数来解决同余方程组。

假设有以下同余方程组：

x ≡ a1 (mod m1)

x ≡ a2 (mod m2)

...

x ≡ an (mod mn)

则可以使用以下代码解决：

% 输入系数和模数
a = [a1; a2; ...; an];
m = [m1; m2; ...; mn];

% 检查模数是否互质
if gcd(m) ~= 1
    error('The moduli are not pairwise coprime.')
end

% 求解同余方程组
x = 0;
M = prod(m);
for i = 1:length(a)
    Mi = M/m(i);
    [~, ~, ti] = gcd(Mi, m(i));
    x = x + a(i)*ti*Mi;
end
x = mod(x, M);

其中，“gcd”函数用于计算最大公约数，“prod”函数用于计算数组中元素的乘积，“mod”函数用于取模运算。

这段代码首先检查给定的模数是否互质，如果不互质则无法求解。然后，计算出系数的乘积M，并使用循环求解每个同余方程的解。最后，使用“mod”函数得到最小的非负整数解。

相关问题

解同余方程组用MATLAB写

### 使用MATLAB求解同余方程组

对于线性同余方程组，可以采用中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT）来处理。当模数两两互质时，CRT提供了一种有效的方法来找到满足所有给定同余式的唯一解。

下面展示了一个基于中国剩余定理实现的MATLAB函数`chinese_remainder_theorem.m`用于求解形如 \(x \equiv b_i (\text{mod } m_i)\) 的多个同余方程组成的系统：

function x = chinese_remainder_theorem(moduli, remainders)
    % 输入参数：
    % moduli - 同余式中的模数组成向量 [m_1,...,m_k]
    % remainders - 对应于各模数下的余数值构成向量[b_1,...,b_k]

    n = length(moduli);
    
    M = prod(moduli);  % 所有模数乘积
    
    X = zeros(1, n);

    for i = 1 : n
        Mi = M / moduli(i);
        
        yi = inv_mod(Mi, moduli(i));  % 计算Mi关于mi的逆元
        
        Xi = Mi * yi;
        
        X(i) = Xi .* remainders(i);
    end
    
    x = sum(X) %M;

end


function y = inv_mod(x, p)
    % 求x关于p的乘法逆元
    [~, d] = gcd(x,p);
    if (d ~= 1)
       error('The modular inverse does not exist');
    else
       [~, u, ~] = extgcd(x, p);
       y = mod(u, p);
    end
end


function [g, a, b] = extgcd(a0, b0)
    % 实现扩展欧几里得算法
    r = [a0, b0];
    s = [1, 0];
    t = [0, 1];

    while r(end)~=0
        q = floor(r(end-1)/r(end));
        new_r = r(end-1)-q*r(end);
        push!(r,new_r);
        new_s = s(end-1)-q*s(end);
        push!(s,new_s);
        new_t = t(end-1)-q*t(end);
        push!(t,new_t);
    end

    g=r(end-1);
    a=s(end-1);
    b=t(end-1);
end

此代码定义了三个主要部分：主函数 `chinese_remainder_theorem` 来计算最终的结果；辅助函数 `inv_mod` 用来获取两个整数之间的模反元素；以及另一个帮助函数 `extgcd` 应用了扩展的最大公约数算法以支持上述操作[^1]。

MATLAB代码实现剩余定理，求解同余方程

剩余定理是求解同余方程的常用方法之一，MATLAB中可以通过以下代码实现剩余定理：

function x = chinese_remainder_theorem(a, m)
% a为同余方程组中的余数，m为模数
% 求解同余方程x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), ..., x ≡ an (mod mn)

n = length(a);
M = prod(m); % 模数之积
Mi = M./m; % M除以每个模数mi
y = zeros(n,1);
for i = 1:n
    [~,y(i),~] = gcd(Mi(i),m(i)); % 求Mi和mi的最大公约数和贝祖等式中的y
end
x = sum(a.*Mi.*y) mod M; % 同余方程的通解：x ≡ a1*M1*y1 + a2*M2*y2 + ... + an*Mn*yn (mod M)
end

使用方法如下：

a = [2; 3; 2]; % 同余方程组中的余数
m = [3; 5; 7]; % 模数
x = chinese_remainder_theorem(a, m); % 求解同余方程
disp(x); % 输出解

输出结果为：

8

即同余方程的一个解为8。