用有限差分法求解二维椭圆偏微分方程

二维椭圆偏微分方程一般形式为：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$

其中 $f(x,y)$ 是已知函数，$u(x,y)$ 是待求函数。

有限差分法是一种常用的数值方法，用于求解偏微分方程。在二维情况下，我们可以将求解区域网格化，假设步长为 $h$，则可以将 $x$ 和 $y$ 轴上的坐标分别取 $x_i=i\times h$ 和 $y_j=j\times h$。对于 $u(x_i,y_j)$，我们可以用 $u_{i,j}$ 来表示。

用中心差分公式求解二阶导数：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h^2}$$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \approx \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{h^2}$$

将上述公式代入原方程得：

$$\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h^2}+\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{h^2}=f_{i,j}$$

整理得：

$$u_{i,j}=\frac{1}{4}(u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1}-h^2f_{i,j})$$

这就是用有限差分法求解二维椭圆偏微分方程的公式。我们可以从边界开始逐步迭代求解内部的 $u_{i,j}$ 值，直到满足一定的收敛条件为止。