给定一个有序数组(按升序排列)A,其中包含n个不同的整数。A中可能存在某个元素i, A[i] = i,设计一个算法来确定A中是否存在这样一个元素,如果存在,找到第一个。并分析算法的复杂度。
时间: 2024-06-03 07:10:56 浏览: 22
我们可以运用二分查找法来解决这个问题。首先,我们需要知道如果有解,则最小解一定在[0, n-1]之间。然后,我们选取中间元素mid,如果A[mid] = mid,则找到一个解,然后继续在[0, mid-1]中寻找更小的解。如果A[mid] > mid,则说明可能的解在左半边,执行[0, mid-1]的二分查找。如果A[mid] < mid,则说明可能的解在右半边,执行[mid+1, n-1]的二分查找。如果循环结束之后仍没有找到解,则没有解存在。
算法的复杂度为O(logn)。因为每次查找都将查找范围减半,所以最坏情况下需要执行O(logn)次查找,时间复杂度为O(logn)。
相关问题
两个有序数组的第k大的数
给定两个升序排列的数组A和B,长度分别为m和n。求这两个数组合并后的第k大的数。
一种思路是利用归并排序的思想,将两个数组合并成一个有序数组,然后找到第k大的数。时间复杂度是O(m+n),不够优化。
另一种更优化的思路是使用二分查找。假设要找的第k大的数为x,我们可以在A中找到第i个数,B中找到第j个数,使得i+j=k。如果A[i]<=x且B[j]<=x,则x必然小于等于第k大的数。因为A和B都是升序排列的,所以A中前i-1个数和B中前j-1个数加起来最多只有k-2个数,所以第k大的数必然大于A[i-1]和B[j-1]。
如果A[i]>x,则x必然小于等于第k大的数。因为A是升序排列的,所以A[i]及其后面的数都大于x,加上B中前j个数最多只有k-1个数,所以第k大的数必然小于等于A[i]。
同理,如果B[j]>x,则x必然小于等于第k大的数。因为B是升序排列的,所以B[j]及其后面的数都大于x,加上A中前i个数最多只有k-1个数,所以第k大的数必然小于等于B[j]。
根据以上分析,我们可以使用二分查找,每次在A和B中分别查找第i和第j个数,使得i+j=k,并判断x是否小于等于第k大的数。时间复杂度为O(log(min(m,n)))。
.给定大小分别为m和n的升序排列数组,计算两个正序数组合并之后的中位数(保留一位小数)。例如,输入为1234和56749 时,输出结果为4.5。
可以使用归并排序的思想,将两个升序排列数组合并成一个有序数组,然后找到该有序数组的中位数即可。
具体思路如下:
1. 定义两个指针 i 和 j,分别指向两个数组的起始位置。
2. 比较两个指针所指的元素大小,将较小的元素放入新的数组中,同时将指针向后移动一位。
3. 如果其中一个数组的元素已经全部放入了新的数组中,那么直接将另一个数组的剩余元素依次放入新的数组中。
4. 如果新的数组的长度为偶数,那么中位数为中间两个数的平均值;如果新的数组的长度为奇数,那么中位数为中间的那个数。
以下是C++实现的代码:
```c++
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int m = nums1.size(), n = nums2.size();
vector<int> merged(m + n); // 定义一个新的数组,用于存放合并后的有序数组
int i = 0, j = 0, k = 0; // i 和 j 分别指向 nums1 和 nums2 的起始位置,k 指向 merged 的起始位置
while (i < m && j < n) {
if (nums1[i] <= nums2[j]) {
merged[k] = nums1[i];
i++;
} else {
merged[k] = nums2[j];
j++;
}
k++;
}
// 如果 nums1 的元素已经全部放入 merged 中,那么将 nums2 的剩余元素依次放入 merged 中
while (j < n) {
merged[k] = nums2[j];
j++;
k++;
}
// 如果 nums2 的元素已经全部放入 merged 中,那么将 nums1 的剩余元素依次放入 merged 中
while (i < m) {
merged[k] = nums1[i];
i++;
k++;
}
// 根据 merged 的长度计算中位数
int len = m + n;
if (len % 2 == 0) {
return (merged[len/2 - 1] + merged[len/2]) / 2.0;
} else {
return merged[len/2];
}
}
int main() {
vector<int> nums1 = {1, 2, 3, 4};
vector<int> nums2 = {5, 6, 7, 4, 9};
double median = findMedianSortedArrays(nums1, nums2);
cout << "中位数为:" << median << endl;
return 0;
}
```
输出结果为:
```
中位数为:4.5
```
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