集合基数如何定义于无限集合?
时间: 2024-08-13 07:09:36 浏览: 240
集合基数(cardinality)是指集合中元素的数量或大小,通常用于有限集合。但在处理无限集合时,由于它们包含无限多个元素,传统的计数方法不再适用。对于无限集合,我们使用一种称为“基数”的概念,它是基于某种数学性质来比较集合之间元素数量的一种抽象度量。
在数学分析中,特别是拓扑学和集合论中,对无限集合的基数定义依赖于两个基本的概念:可数集和不可数集。如果一个无限集合能够一一对应到自然数集(如整数、实数),那么我们就说这个集合是可数的,其基数记为ℵ₀(aleph-null),这是最小的无限基数。
例如,实数集合和自然数集合就是经典的例子,虽然实数是无限的,但理论上它们是可以用一个无限序列的方式来一一表示的,因此被认为是可数无穷的。
另一方面,如果一个无限集合无法完全与任何可数集一对一对应,那么它是不可数的。比如,所有 Vitali 空间的集合(Vitali 希尔伯特空间中的非空子集)就是一个典型的不可数集合。这些集合的基数大于ℵ₀,被称为更高的基数,用大希腊字母表示,如ℵ₁、ℵ₂等。
总之,对于无限集合,确定基数涉及更复杂的数学论证,比如选择公理和基数排序,而不仅仅是直观的计数。
相关问题
1.证明如果A和B 是集合,A是不可数的,并且A含于B,则B是不可数的。 2.证明任意可数集的子集也是可数集合 3.证明:两个可数集合的并仍然是可数的(任意有限个可数集合并也是 可数的)4. 假设A是一个无限集,证明一定存在 A的真子集跟 A 同基数。4
. 证明:假设A是一个无限集,那么A可以与自己的一个真子集B建立一一对应关系。因为B是A的真子集,所以B的基数小于A的基数,但是由于A与B可以建立一一对应关系,所以它们的基数相等。因此,存在A的真子集与A同基数。
设R是实数集合,证明R×R的基数=R的基数
要证明$R\times R$的基数等于$R$的基数,我们需要构造一个双射$f:R\times R\rightarrow R$。
我们可以使用康托尔-笛卡尔-伯努利定理,即任何两个无限集合的笛卡尔积的基数等于它们中基数更大的那个集合的基数。因为$R$是无限集合,所以$R\times R$的基数不小于$R$的基数。
接下来,我们可以使用康托尔对角线论证法,构造一个双射$g:R\rightarrow R\times R$。具体地,我们可以将$R$中的每个实数表示成一个二元组$(a,b)$,其中$a$表示这个实数的整数部分,$b$表示这个实数的小数部分。例如,实数$3.14159\dots$可以表示成$(3,0.14159\dots)$。
然后我们构造一个新的实数$x$,其整数部分为$0$,小数部分的第$n$位为原来第$n$个实数的第$n$位小数取反(0变成1,1变成0)。例如,如果我们有实数$3.14159\dots$和$2.71828\dots$,那么我们可以构造出一个新实数$0.01010\dots$,其小数部分的第1位为$1-0=1$,第2位为$0-1=1$,第3位为$1-8=3$,第4位为$0-4=4$,第5位为$1-1=0$,以此类推。
现在假设存在一个双射$f:R\times R\rightarrow R$,我们可以用这个双射将每个二元组$(a,b)$映射到一个实数$f(a,b)$。我们发现,对于任意的$n$,$f(a,b)$的小数部分的第$n$位与$g^{-1}(f(a,b))$的小数部分的第$n$位不同。因此,$f$不能是一个双射,与假设矛盾。
因此,不存在一个双射将$R\times R$映射到$R$,即$R\times R$的基数不大于$R$的基数。综上所述,$R\times R$的基数等于$R$的基数。
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