集合基数如何定义于无限集合？

集合基数（cardinality）是指集合中元素的数量或大小，通常用于有限集合。但在处理无限集合时，由于它们包含无限多个元素，传统的计数方法不再适用。对于无限集合，我们使用一种称为“基数”的概念，它是基于某种数学性质来比较集合之间元素数量的一种抽象度量。

在数学分析中，特别是拓扑学和集合论中，对无限集合的基数定义依赖于两个基本的概念：可数集和不可数集。如果一个无限集合能够一一对应到自然数集（如整数、实数），那么我们就说这个集合是可数的，其基数记为ℵ₀（aleph-null），这是最小的无限基数。

例如，实数集合和自然数集合就是经典的例子，虽然实数是无限的，但理论上它们是可以用一个无限序列的方式来一一表示的，因此被认为是可数无穷的。

另一方面，如果一个无限集合无法完全与任何可数集一对一对应，那么它是不可数的。比如，所有 Vitali 空间的集合（Vitali 希尔伯特空间中的非空子集）就是一个典型的不可数集合。这些集合的基数大于ℵ₀，被称为更高的基数，用大希腊字母表示，如ℵ₁、ℵ₂等。

总之，对于无限集合，确定基数涉及更复杂的数学论证，比如选择公理和基数排序，而不仅仅是直观的计数。