编写程序实现向量V（3,1）关于对称轴y=2x的镜像变换并绘制图像

首先，我们需要计算出向量V关于对称轴y=2x的镜像向量V'。根据对称性质，V与V'关于对称轴y=2x的中垂线L垂直且相等，因此我们可以先求出L的方程，再利用向量运算求出V'。

设中垂线L的斜率为k，则L的方程为：

y - 2x = k(x - 3)

由于L垂直于对称轴，因此k的值为对称轴斜率的相反数，即k=-1/2。

代入上式得：

y - 2x = (-1/2)(x - 3)

化简得：

y = -x/2 + 7/2

现在我们可以求出向量V到L的垂线向量P，然后将P乘以2（因为V和V'距离相等），再将V减去2P，即可得到向量V'。

P = proj_L(V) = ((V·L)/|L|^2) * L

其中·表示向量点乘，|L|表示L的长度。

将L的方程化为一般式Ax + By + C = 0，有：

A = -1, B = 2, C = -7/2

|L| = sqrt(A^2 + B^2) = sqrt(5)/2

将V代入L的方程可得V到L的距离d：

d = |Ax + By + C| / |L| = (|-x/2 + y - 7/2|) / (sqrt(5)/2) = sqrt(5)/2

将V代入L的方程可得P的坐标：

x_p = (3 + 2y) / 5, y_p = (7 - x) / 5

然后代入上面的公式即可求出V'：

x' = 2x_p - x, y' = 2y_p - y

代码实现如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 输入向量V的坐标
V = np.array([3, 1])

# 计算中垂线L的斜率k和长度|L|
k = -1/2
L_norm = np.sqrt(5)/2

# 计算向量V到中垂线L的距离d
d = np.abs((-V[0]/2 + V[1] - 7/2) / L_norm)

# 计算向量P的坐标
x_p = (3 + 2*V[1]) / 5
y_p = (7 - V[0]) / 5

# 计算镜像向量V'
P = np.array([x_p, y_p])
V_mirror = 2*P - V

# 绘制图像
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.xlim(-4, 4)
plt.ylim(-4, 4)
plt.axhline(y=0, color='k')
plt.axvline(x=0, color='k')
plt.plot([0, V[0]], [0, V[1]], 'b', label='V')
plt.plot([0, V_mirror[0]], [0, V_mirror[1]], 'r', label='V_mirror')
plt.plot([-2, 2], [-1, 1], 'g', label='y=2x')
plt.plot([V[0], P[0]], [V[1], P[1]], 'm--', label='P')
plt.legend()
plt.show()

运行后，会显示一个坐标系，用蓝色箭头表示原向量V，用红色箭头表示镜像向量V'，用绿色直线表示对称轴y=2x，用紫色虚线表示向量V到中垂线L的垂线向量P。