arcsinx/1+x^2求积分

可以使用部分分式分解法来求解这个积分。

首先，我们对被积函数进行部分分式分解：

arcsinx / (1 + x^2) = A * arctan(x) + B * arcsinx

其中，A 和 B 是待定系数。

然后，我们对这个等式两边同时求导：

d/dx (arcsinx / (1 + x^2)) = d/dx (A * arctan(x) + B * arcsinx)

(1 / (1 + x^2)) * (1 / sqrt(1 - x^2)) / (1 + x^2) = A / (1 + x^2) + B * (1 / sqrt(1 - x^2))

接下来，我们可以取 x = 0，得到：

(1 / 2) * (1 / sqrt(1 - 0^2)) = A / (1 + 0^2) + B * (1 / sqrt(1 - 0^2))

1 / 2 = A + B

接着，我们可以令 x = tan(t)，得到：

arcsinx = arctan(t)

1 + x^2 = 1 + tan^2(t) = sec^2(t)

dx/dt = sec^2(t)

将 x 和 dx/dt 用 t 表示，得到：

arcsin(tan(t)) / (1 + tan^2(t)) = A * t' + B * arctan(tan(t))

arctan(sin(t) / cos(t)) / (1 + sin^2(t) / cos^2(t)) = A * sec^2(t) + B * t

cos(t) * arctan(sin(t) / cos(t)) / (cos^2(t) + sin^2(t)) = A * cos^2(t) + B * t * cos^2(t)

cos(t) * arctan(sin(t) / cos(t)) = A * cos^4(t) + B * t * cos^2(t)

令 t = π/4，得到：

arcsin(1/sqrt(2)) / (1 + 1/2) = A * cos^4(π/4) + B * π/4 * cos^2(π/4)

1 / (3 * sqrt(2)) = A * (1/2)^2 + B * (1/2) * π/4

1 / (3 * sqrt(2)) = A / 4 + B * π / (8 * sqrt(2))

联立前面求得的两个式子，解得：

A = (2 * sqrt(2)) / 3

B = (-π * sqrt(2)) / 12

因此，原式的积分为：

∫(arcsinx / (1 + x^2)) dx = (2 * sqrt(2) / 3) * arctan(x) - (π * sqrt(2) / 12) * arcsinx + C

其中，C 为常数项。