arcsinx除以x平方的不定积分

我们可以利用分部积分法来求解这个不定积分。设

u = arcsin x，dv = 1/x^2 dx

则

du/dx = 1/√(1-x^2)，v = -1/x

利用分部积分公式，有

∫arcsin x/x^2 dx = -arcsin x/x + ∫(1/√(1-x^2)) * (1/x) dx

我们可以将(1/√(1-x^2)) * (1/x)写成(1/√(1-x^2)) * (1/(1-x^2) + x^2)，然后再拆分成两个不定积分，即

∫arcsin x/x^2 dx = -arcsin x/x + ∫(1/√(1-x^2)) * (1/(1-x^2)) dx + ∫(1/√(1-x^2)) * x^2 dx

第一个不定积分可以通过令y = √(1-x^2)，然后利用反双曲正切函数求出来，即

∫(1/√(1-x^2)) * (1/(1-x^2)) dx = 1/2arctanh(√(1-x^2))

第二个不定积分可以通过令u = arcsin x，然后利用欧拉积分求出来，即

∫(1/√(1-x^2)) * x^2 dx = (x√(1-x^2))/2 + 1/2arcsin x

因此，原式可以表示为

∫arcsin x/x^2 dx = -arcsin x/x + 1/2arctanh(√(1-x^2)) + (x√(1-x^2))/2 + 1/2arcsin x + C

其中C为积分常数。

相关问题

arcsinx/1+x^2求积分

可以使用部分分式分解法来求解这个积分。

首先，我们对被积函数进行部分分式分解：

arcsinx / (1 + x^2) = A * arctan(x) + B * arcsinx

其中，A 和 B 是待定系数。

然后，我们对这个等式两边同时求导：

d/dx (arcsinx / (1 + x^2)) = d/dx (A * arctan(x) + B * arcsinx)

(1 / (1 + x^2)) * (1 / sqrt(1 - x^2)) / (1 + x^2) = A / (1 + x^2) + B * (1 / sqrt(1 - x^2))

接下来，我们可以取 x = 0，得到：

(1 / 2) * (1 / sqrt(1 - 0^2)) = A / (1 + 0^2) + B * (1 / sqrt(1 - 0^2))

1 / 2 = A + B

接着，我们可以令 x = tan(t)，得到：

arcsinx = arctan(t)

1 + x^2 = 1 + tan^2(t) = sec^2(t)

dx/dt = sec^2(t)

将 x 和 dx/dt 用 t 表示，得到：

arcsin(tan(t)) / (1 + tan^2(t)) = A * t' + B * arctan(tan(t))

arctan(sin(t) / cos(t)) / (1 + sin^2(t) / cos^2(t)) = A * sec^2(t) + B * t

cos(t) * arctan(sin(t) / cos(t)) / (cos^2(t) + sin^2(t)) = A * cos^2(t) + B * t * cos^2(t)

cos(t) * arctan(sin(t) / cos(t)) = A * cos^4(t) + B * t * cos^2(t)

令 t = π/4，得到：

arcsin(1/sqrt(2)) / (1 + 1/2) = A * cos^4(π/4) + B * π/4 * cos^2(π/4)

1 / (3 * sqrt(2)) = A * (1/2)^2 + B * (1/2) * π/4

1 / (3 * sqrt(2)) = A / 4 + B * π / (8 * sqrt(2))

联立前面求得的两个式子，解得：

A = (2 * sqrt(2)) / 3

B = (-π * sqrt(2)) / 12

因此，原式的积分为：

∫(arcsinx / (1 + x^2)) dx = (2 * sqrt(2) / 3) * arctan(x) - (π * sqrt(2) / 12) * arcsinx + C

其中，C 为常数项。

python绘制arcsinx-x的函数图像

可以使用Python的Matplotlib库来绘制函数图像。下面是绘制arcsin(x)-x的函数图像的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 1, 1000)  # 定义x的取值范围
y = np.arcsin(x) - x  # 计算函数值

plt.plot(x, y, color='blue', linewidth=2)  # 绘制函数图像
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('y = arcsin(x) - x')
plt.grid(True)
plt.show()

运行上述代码，将会得到函数y=arcsin(x)-x的图像。