arcsinx与x等价无穷小的推导过程

要证明$arcsin(x)$与$x$等价无穷小，首先需要知道它们的定义。

$arcsin(x)$表示反正弦函数。即，当$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$时，$arcsin(x)$满足$\sin(arcsin(x))=x$ 。

而$x$是一个变量，可以看做是在$0$附近变化的。

我们可以将$arcsin(x)$展开成泰勒级数的形式:

$$arcsin(x) = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots$$

这个级数是可求和的，我们可以把它写成：

$$arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} $$

接下来，我们考察$x$在$0$附近的表现。为了证明两者等价无穷小，需要证明在$x \to 0$时，$arcsin(x)$的阶数与$x$相同，并且系数存在有限极限。

观察刚刚展开的泰勒级数，我们可以看到，最低阶的项为$x$。同时，所有的高阶项都包含了$x$的幂。因此，$arcsin(x)$的阶数与$x$相同，且系数存在有限极限。

因此，我们可以得到结论，$arcsin(x)$与$x$等价无穷小。即：

$$\lim_{x \to 0} \frac{arcsin(x)}{x} = 1$$