arcsinx为什么和sinx等价无穷小

当$x$趋近于$0$时，$\arcsin(x)$和$\sin(x)$是等价无穷小。这是因为：

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arcsin(x)}{\sin(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1/\sqrt{1-x^2}}{\cos(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\cos(x)\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{1}=1$

根据等价无穷小的定义，如果两个函数的比值的极限为$1$，那么它们在零点的极限是等价的。因此，$\arcsin(x)$和$\sin(x)$是等价的无穷小。

相关问题

arcsinx与x等价无穷小的推导过程

要证明$arcsin(x)$与$x$等价无穷小，首先需要知道它们的定义。

$arcsin(x)$表示反正弦函数。即，当$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$时，$arcsin(x)$满足$\sin(arcsin(x))=x$ 。

而$x$是一个变量，可以看做是在$0$附近变化的。

我们可以将$arcsin(x)$展开成泰勒级数的形式:

$$arcsin(x) = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots$$

这个级数是可求和的，我们可以把它写成：

$$arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} $$

接下来，我们考察$x$在$0$附近的表现。为了证明两者等价无穷小，需要证明在$x \to 0$时，$arcsin(x)$的阶数与$x$相同，并且系数存在有限极限。

观察刚刚展开的泰勒级数，我们可以看到，最低阶的项为$x$。同时，所有的高阶项都包含了$x$的幂。因此，$arcsin(x)$的阶数与$x$相同，且系数存在有限极限。

因此，我们可以得到结论，$arcsin(x)$与$x$等价无穷小。即：

$$\lim_{x \to 0} \frac{arcsin(x)}{x} = 1$$

arcsinx为什么和x

有关？

arcsinx是反正弦函数，表示求解一个函数的反函数，其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。它和x有关的原因在于，当y=sin(x)时，可以通过arcsin函数求出对应的x值，即arcsin(y)=x。因此，arcsin函数和x的关系是通过sin函数所建立的。