arcsinx的泰勒公式怎么又sinx的泰勒公式推过来

我们可以通过反函数求导公式来推导出arcsinx的泰勒公式。

假设我们已知sinx的泰勒公式为：

$$\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

则我们可以对两边同时取反正弦函数，得到：

$$\arcsin (\sin x) = x$$

对等式两边求导，得到：

$$\frac{d}{dx} \arcsin (\sin x) = 1$$

根据反函数求导公式：

$$\frac{d}{dx} \arcsin (u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$$

将上式中的$u$替换为$\sin x$，得到：

$$\frac{d}{dx} \arcsin (\sin x) = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x}}$$

由于$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，所以$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，代入上式得到：

$$\frac{d}{dx} \arcsin (\sin x) = \frac{1}{|\cos x|}$$

注意到在$x=\frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$为整数）时，$\cos x = 0$，因此在这些点处$\frac{d}{dx} \arcsin (\sin x)$不存在。我们可以通过在这些点处手动指定$\arcsin (\sin x)$的值来得到arcsinx的泰勒公式：

$$\arcsin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$$

其中，$|x|\leq 1$。

这样得到的泰勒公式在$x=\pm 1$处仍然存在收敛半径问题，但可以通过其他方法解决，例如幂级数求和法或者复数域上的解析延拓。