arcsinx为什么和x

有关？

arcsinx是反正弦函数，表示求解一个函数的反函数，其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。它和x有关的原因在于，当y=sin(x)时，可以通过arcsin函数求出对应的x值，即arcsin(y)=x。因此，arcsin函数和x的关系是通过sin函数所建立的。

相关问题

arcsinx为什么和sinx等价无穷小

当$x$趋近于$0$时，$\arcsin(x)$和$\sin(x)$是等价无穷小。这是因为：

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arcsin(x)}{\sin(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1/\sqrt{1-x^2}}{\cos(x)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\cos(x)\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{1}=1$

根据等价无穷小的定义，如果两个函数的比值的极限为$1$，那么它们在零点的极限是等价的。因此，$\arcsin(x)$和$\sin(x)$是等价的无穷小。

arcsinx/1+x^2求积分

可以使用部分分式分解法来求解这个积分。

首先，我们对被积函数进行部分分式分解：

arcsinx / (1 + x^2) = A * arctan(x) + B * arcsinx

其中，A 和 B 是待定系数。

然后，我们对这个等式两边同时求导：

d/dx (arcsinx / (1 + x^2)) = d/dx (A * arctan(x) + B * arcsinx)

(1 / (1 + x^2)) * (1 / sqrt(1 - x^2)) / (1 + x^2) = A / (1 + x^2) + B * (1 / sqrt(1 - x^2))

接下来，我们可以取 x = 0，得到：

(1 / 2) * (1 / sqrt(1 - 0^2)) = A / (1 + 0^2) + B * (1 / sqrt(1 - 0^2))

1 / 2 = A + B

接着，我们可以令 x = tan(t)，得到：

arcsinx = arctan(t)

1 + x^2 = 1 + tan^2(t) = sec^2(t)

dx/dt = sec^2(t)

将 x 和 dx/dt 用 t 表示，得到：

arcsin(tan(t)) / (1 + tan^2(t)) = A * t' + B * arctan(tan(t))

arctan(sin(t) / cos(t)) / (1 + sin^2(t) / cos^2(t)) = A * sec^2(t) + B * t

cos(t) * arctan(sin(t) / cos(t)) / (cos^2(t) + sin^2(t)) = A * cos^2(t) + B * t * cos^2(t)

cos(t) * arctan(sin(t) / cos(t)) = A * cos^4(t) + B * t * cos^2(t)

令 t = π/4，得到：

arcsin(1/sqrt(2)) / (1 + 1/2) = A * cos^4(π/4) + B * π/4 * cos^2(π/4)

1 / (3 * sqrt(2)) = A * (1/2)^2 + B * (1/2) * π/4

1 / (3 * sqrt(2)) = A / 4 + B * π / (8 * sqrt(2))

联立前面求得的两个式子，解得：

A = (2 * sqrt(2)) / 3

B = (-π * sqrt(2)) / 12

因此，原式的积分为：

∫(arcsinx / (1 + x^2)) dx = (2 * sqrt(2) / 3) * arctan(x) - (π * sqrt(2) / 12) * arcsinx + C

其中，C 为常数项。