arcsinx的推导公式

arcsinx的推导公式为：

假设sin(x) = y，其中-1 ≤ y ≤ 1，则arcsinx表示的是x的一个取值，满足sin(x) = y。

将sin(x) = y两边求导，得到cos(x)dx = dy。

移项得到：dx = (1/cos(x))dy。

由于cos(x) = √(1 - sin^2(x))，因此有cos(x) > 0，可以将dx和dy表示成它们的反正切函数，即：

dx/dy = 1/cos(x) = 1/√(1 - sin^2(x)) = 1/√(1 - y^2)

同时，因为arcsinx是x的一个取值，所以可以将dx表示为d(arcsinx)，即：

d(arcsinx)/dy = 1/√(1 - y^2)

将y换成sin(x)，得到：

d(arcsinx)/dsin(x) = 1/√(1 - sin^2(x))

即arcsinx的推导公式为：

arcsinx = ∫(1/√(1 - sin^2(x)))dx

相关问题

arcsinx的泰勒公式怎么又sinx的泰勒公式推过来

我们可以通过反函数求导公式来推导出arcsinx的泰勒公式。

假设我们已知sinx的泰勒公式为：

$$\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

则我们可以对两边同时取反正弦函数，得到：

$$\arcsin (\sin x) = x$$

对等式两边求导，得到：

$$\frac{d}{dx} \arcsin (\sin x) = 1$$

根据反函数求导公式：

$$\frac{d}{dx} \arcsin (u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$$

将上式中的$u$替换为$\sin x$，得到：

$$\frac{d}{dx} \arcsin (\sin x) = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x}}$$

由于$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，所以$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，代入上式得到：

$$\frac{d}{dx} \arcsin (\sin x) = \frac{1}{|\cos x|}$$

注意到在$x=\frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$为整数）时，$\cos x = 0$，因此在这些点处$\frac{d}{dx} \arcsin (\sin x)$不存在。我们可以通过在这些点处手动指定$\arcsin (\sin x)$的值来得到arcsinx的泰勒公式：

$$\arcsin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$$

其中，$|x|\leq 1$。

这样得到的泰勒公式在$x=\pm 1$处仍然存在收敛半径问题，但可以通过其他方法解决，例如幂级数求和法或者复数域上的解析延拓。

arcsinx与x等价无穷小的推导过程

要证明$arcsin(x)$与$x$等价无穷小，首先需要知道它们的定义。

$arcsin(x)$表示反正弦函数。即，当$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$时，$arcsin(x)$满足$\sin(arcsin(x))=x$ 。

而$x$是一个变量，可以看做是在$0$附近变化的。

我们可以将$arcsin(x)$展开成泰勒级数的形式:

$$arcsin(x) = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots$$

这个级数是可求和的，我们可以把它写成：

$$arcsin(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} $$

接下来，我们考察$x$在$0$附近的表现。为了证明两者等价无穷小，需要证明在$x \to 0$时，$arcsin(x)$的阶数与$x$相同，并且系数存在有限极限。

观察刚刚展开的泰勒级数，我们可以看到，最低阶的项为$x$。同时，所有的高阶项都包含了$x$的幂。因此，$arcsin(x)$的阶数与$x$相同，且系数存在有限极限。

因此，我们可以得到结论，$arcsin(x)$与$x$等价无穷小。即：

$$\lim_{x \to 0} \frac{arcsin(x)}{x} = 1$$