设f(x)=arcsinx，x∈[-1,1]，在Φ=span{1,x,x²,x³}中求f(x)的最佳平方逼近多项式

如果要在$\Phi$中求出$f(x)$的最佳平方逼近多项式，我们需要求出$f(x)$的最小二乘拟合多项式。这可以通过解决下列线性方程组来实现：

$$\begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & x_n^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(x_1) \\ f(x_2) \\ \vdots \\ f(x_n) \end{bmatrix}$$

其中$x_1, x_2, ..., x_n$是$[-1, 1]$区间内的n个点，$a_0, a_1, a_2, a_3$是未知系数，$f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n)$是函数$f(x)$在这些点上的取值。解决这个方程组后，所得到的最小二乘拟合多项式就是$f(x)$在$\Phi$中的最佳平方逼近多项式。

相关问题

利用matlab求以下题目：设f(x)=arcsinx,x∈[-1,1],在Φ=span{1,x,x²,x³}中求f(x)的最佳平方逼近多项式。

### 回答1：
首先，您可以在 [-1,1] 区间内构造一组至少四个点的数据点来表示函数 f(x) = arcsinx。然后，可以使用 Matlab 中的函数 polyfit 来拟合这些数据点。例如，如果您构造了五个数据点，可以使用以下代码来求出最佳平方逼近多项式：

x = [-1, -0.5, 0, 0.5, 1]; % 五个数据点的横坐标
y = [arcsin(-1), arcsin(-0.5), arcsin(0), arcsin(0.5), arcsin(1)]; % 五个数据点的纵坐标
p = polyfit(x, y, 3); % 拟合数据点，得到次数为 3 的最佳平方逼近多项式

现在，变量 p 中就保存了求得的最佳平方逼近多项式。您可以使用 polyval 函数来计算多项式的值，例如：

x0 = 0.2; % 计算多项式在 x=0.2 处的值
y0 = polyval(p, x0);

希望这些信息能帮到您！

### 回答2：
要求在Φ=span{1,x,x²,x³}中求f(x)的最佳平方逼近多项式，可以利用最小二乘法来解决这个问题。

首先，我们需要求解一个线性方程组来得到逼近多项式的系数。设逼近多项式为p(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³，我们的目标是找到使得f(x)-p(x)的平方和最小的系数a₀、a₁、a₂和a₃。

将f(x)=arcsinx和逼近多项式p(x)代入到最小二乘问题中，得到方程组：

∑[f(x)-p(x)]*xⁱ = 0, i=0,1,2,3

通过计算这个方程组，我们可以得到逼近多项式的系数。在MATLAB中，可以表示为：

A = [1, x₁, x₁², x₁³; 1, x₂, x₂², x₂³; ...; 1, xₙ, xₙ², xₙ³]
b = [arcsin(x₁); arcsin(x₂); ...; arcsin(xₙ)]

其中，x₁、x₂、...、xₙ为[-1,1]上的一组离散点，n为离散点的个数。

然后，利用最小二乘法求解线性方程组A*a=b，其中a=[a₀, a₁, a₂, a₃]为逼近多项式的系数。

解方程组的MATLAB代码为：

a = A\b

最后，通过求得的系数a，我们可以得到逼近多项式p(x)，并根据p(x)的平方和来评估逼近的程度。

### 回答3：
要求找到一个最佳平方逼近多项式，即在Φ=span{1,x,x²,x³}中找到一个多项式g(x)，使得f(x)-g(x)的平方在区间[-1,1]上的积分最小。

首先，可以通过变换得到一个新的基。设y=sin(x)，则x=arcsin(y)，并且满足-1≤y≤1。我们可以使用这个新的基来表示f(x)。

接下来，我们需要构造一个关于y的多项式p(y)来近似函数y。我们可以假设p(y)的形式为p(y)=c₀+c₁y+c₂y²+c₃y³，其中c₀、c₁、c₂、c₃为待定系数。将y=sin(x)代入p(y)得到p(sin(x))=c₀+c₁sin(x)+c₂sin²(x)+c₃sin³(x)。

然后，我们需要将p(sin(x))变换回和f(x)在相同基上进行比较。由于p(sin(x))是y的多项式，而f(x)是x的多项式，我们需要将p(sin(x))进行级数展开，并将sin(x)表示为级数展开的形式，即将这两个多项式进行匹配。在此过程中，我们可以得到新的展开式p(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³。

最后，我们比较f(x)和p(x)的差值，即计算(f(x)-p(x))²在区间[-1,1]上的积分。通过求解最小化这个积分的问题，可以得到最佳平方逼近多项式p(x)。

这个过程可以用MATLAB中的函数进行求解。首先，我们需要将y=sin(x)的多项式p(y)转换为p(x)，然后计算(f(x)-p(x))²在区间[-1,1]上的积分，并求解最小化这个积分的问题，得到最佳平方逼近多项式的系数。

设f(x)=arcsinx，x∈[-1,1]，在Φ=span{1,x,x²,x³}中求f(x)的最佳平方逼近多项式，能用代码解决一下这个问题吗

好的，我可以尝试用代码来帮助您解决这个问题。

我们首先需要求出 $f(x)$ 的前四项幂级数展开式。由于 $f(x)=\arcsin x$，我们可以使用等价于 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 的 Taylor 展开式来求得：

$$f(x)=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\frac{5x^7}{112}+\cdots$$

接下来，我们可以使用最小二乘法来求得在 $\Phi$ 基底下的最佳平方逼近多项式 $P(x)$。首先，我们需要构建观测矩阵 $\mathbf{A}$ 和观测向量 $\mathbf{b}$，其中 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $x_i^j$，$\mathbf{b}$ 的第 $i$ 元素为 $f(x_i)$。我们可以使用下面的 Python 代码来构建这两个矩阵：

import numpy as np

# 构建观测矩阵 A 和观测向量 b
n = 4  # 拟合的多项式的阶次
x = np.linspace(-1, 1, n+1)  # 生成 n+1 个均匀分布的点
A = np.vander(x, n+1)  # 构建观测矩阵
b = np.array([f(xi) for xi in x])  # 构建观测向量

然后，我们可以使用最小二乘法求得系数矩阵 $\mathbf{c}$，其中 $P(x)=\sum_{i=0}^n c_i x^i$。我们可以使用下面的 Python 代