行列式乘其伴随阵为什么等于行列式的模乘单位矩阵

我们知道，一个n阶方阵A的伴随阵记作adj(A)，其定义为A的代数余子式组成的矩阵的转置矩阵。即

adj(A) = (A_ij)^(T)

其中A_ij是A的第i行第j列的代数余子式。而A的行列式记作det(A)。

那么，根据行列式的性质，有det(A)*adj(A) = A^(T)*A。

因此，如果A是一个可逆矩阵，那么A的逆矩阵A^(-1)就可以表示为：

A^(-1) = adj(A) / det(A)

因此，我们可以得到：

det(A)*adj(A) = A^(T)*A = |A|^2 * I

其中I是单位矩阵，|A|是A的行列式模。

因此，行列式乘其伴随阵等于行列式的模乘以单位矩阵。

相关问题

一个矩阵的伴随矩阵为什么等于矩阵的行列式的平方

### 回答1：
一个矩阵的伴随矩阵是由这个矩阵的代数余子式按一定规律组成的矩阵。而这个矩阵的每个元素就是对应位置上的代数余子式，也就是矩阵的某个子矩阵的行列式乘以 $(-1)^{i+j}$，其中 $i$ 和 $j$ 分别是这个元素在矩阵中的行和列。

因此，如果我们令 $A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，$adj(A)$ 表示 $A$ 的伴随矩阵，$det(A)$ 表示 $A$ 的行列式，那么 $adj(A)_{i,j} = (-1)^{i+j} det(A_{j,i})$，其中 $A_{j,i}$ 是 $A$ 去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后的子矩阵。

于是有 $adj(A) \cdot A = A \cdot adj(A) = det(A) \cdot I$，其中 $I$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵。

因此，$det(adj(A)) \cdot det(A) = det(adj(A) \cdot A) = det(det(A) \cdot I) = (det(A))^n$，其中 $n$ 是 $A$ 的阶数。

因为 $adj(A)$ 的所有元素都是 $A$ 的代数余子式，所以 $det(adj(A)) = (det(A))^{n-1}$。所以 $det(adj(A)) = (det(A))^{n-1}$，即 $det(adj(A)) = (det(A))^2$。

### 回答2：
一个矩阵的伴随矩阵是指将原矩阵的代数余子式按照一定规律排列而形成的新矩阵。而矩阵的行列式是对于一个方阵而言，由矩阵的元素按照一定规律进行运算得到的一个标量值。在一些特定的情况下，一个矩阵的伴随矩阵等于矩阵的行列式的平方。

首先，我们需要知道代数余子式的定义。对于一个n维方阵A，它的元素a_ij对应的代数余子式M_ij实际上是A去掉第i行第j列后剩余元素的行列式。而伴随矩阵的元素B_ij实际上就是A的代数余子式M_ji，即将代数余子式按照行列转置得到。

接下来，我们来推导伴随矩阵等于矩阵的行列式的平方。设A为一个n维方阵，其行列式为|A|，伴随矩阵为B，可以得到：
B_ij = M_ji

然后，我们需要证明B的行列式等于A的行列式的平方，即|B| = |A|^2。由代数余子式的性质可知，
B_ij = (-1)^(i+j) * M_ij

由于伴随矩阵的定义，我们可以得到：
A * B = B * A = |A| * I
其中，I为单位矩阵。

考虑A * B的行列式，可以得到：
|A * B| = |A| * |B| = |A|^2 * |I| = |A|^2

又因为A * B = |A| * I，所以|A * B| = |A| * |I| = |A|^2，
所以|A| * |B| = |A|^2，

证明了伴随矩阵的行列式等于矩阵的行列式的平方，即|B| = |A|^2。

综上所述，一个矩阵的伴随矩阵等于矩阵的行列式的平方，即B = |A|^2。

### 回答3：
矩阵的伴随矩阵（Adjoint Matrix），也称为伴随矩阵、伴随行列式等，是矩阵的一种特殊表示形式。对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记为adj(A)。

矩阵的行列式（Determinant）是一个重要的数值，表示矩阵的某些性质，例如矩阵是否可逆等。

首先，我们需要明确伴随矩阵的计算方式。伴随矩阵的第i行第j列元素等于原矩阵去掉第i行和第j列后的剩余元素的代数余子式，再根据其位置进行正负号的调整。

假设A是一个n阶方阵，则其行列式的平方的计算方式为det(A)²。

我们可以通过展开式的方式来证明矩阵的伴随矩阵等于矩阵的行列式的平方。根据伴随矩阵的定义，伴随矩阵adj(A)的第i行和第j列元素等于原矩阵A的剩余元素的代数余子式。

考虑矩阵A的一个元素a(ij)，其中i和j分别表示该元素所在的行和列。根据展开式，a(ij)与其代数余子式之积的和等于矩阵A的行列式，即a(ij) × C(ij) = det(A)，其中C(ij)表示代数余子式。

因此，adj(A)的第i行和第j列元素等于a(ij) × C(ij)。而代数余子式之积等于矩阵A的行列式，即C(ij) = det(A)。

综上所述，adj(A)的第i行和第j列元素等于a(ij) × det(A)。由于行列式的计算结果为一个数值，所以adj(A)的每个元素都等于矩阵A的行列式。

因此，矩阵的伴随矩阵等于矩阵的行列式的平方，即adj(A) = det(A)²。

矩阵乘以其伴随矩阵为什么等于矩阵的模

矩阵乘以其伴随矩阵等于矩阵的行列式的倍数，即$A\cdot adj(A)=det(A)\cdot I$，其中$A$为$n$阶方阵，$adj(A)$为$A$的伴随矩阵，$I$为$n$阶单位矩阵。因此，若矩阵$A$的行列式$det(A)\neq0$，则$A$可逆，$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot adj(A)$，则$A\cdot A^{-1}=det(A)\cdot I$。因为$det(A)\neq0$，所以$det(A)>0$，因此$A\cdot A^{-1}=det(A)\cdot I>0$，即$A\cdot A^{-1}$是正定矩阵，因此它的特征值均为正实数，所以$\sqrt{\lambda_i(A\cdot A^{-1})}>0$，其中$\lambda_i(A\cdot A^{-1})$表示$A\cdot A^{-1}$的第$i$个特征值。因此，$||A||\cdot||A^{-1}||=\sqrt{\lambda_{max}(A\cdot A^{-1})}=\sqrt{det(A)\cdot det(adj(A))}=\sqrt{det(A)^2}=|det(A)|=det(A)$，即$||A||\cdot||A^{-1}||=det(A)$。因此，$A\cdot adj(A)=det(A)\cdot I=||A||\cdot||adj(A)||$，即$||A\cdot adj(A)||=||A||\cdot||adj(A)||=det(A)$，因此矩阵乘以其伴随矩阵的模等于矩阵的行列式。