利用分治法，写一个二分检索的递归算法，并利用c语言实现，同时进行时间复杂度分析

二分查找，也称折半搜索，是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法。它通过将数组分成两半并检查中间元素来工作，如果目标值小于中间元素，则在左半部分继续搜索；如果大于中间元素，则在右半部分搜索；如果等于中间元素，就找到了目标。

以下是使用分治思想的二分查找的递归C语言实现：

#include <stdio.h>

int binarySearch(int arr[], int left, int right, int target) {
    if (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;

        // 如果中间元素正好是我们要找的目标
        if (arr[mid] == target)
            return mid;

        // 如果中间元素大于目标，在左半边继续搜索
        else if (arr[mid] > target)
            return binarySearch(arr, left, mid - 1, target);

        // 否则在右半边继续搜索
        else
            return binarySearch(arr, mid + 1, right, target);
    }

    // 如果目标不存在于数组中
    return -1;
}

int main() {
    int arr[] = {2, 3, 4, 10, 40};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    int target = 10;
    int result = binarySearch(arr, 0, n - 1, target);
    
    if (result != -1)
        printf("Element found at index %d\n", result);
    else
        printf("Element not found in the array.\n");

    return 0;
}

时间复杂度分析：
每次递归调用都会将搜索范围减半，因此时间复杂度是O(log n)，其中n是数组的长度。这是因为对于每个递归层次，我们都排除了一半的元素。所以，随着搜索的进行，所需的操作次数是对数级别的增长。这是二分查找非常高效的原因之一。