matlab牛顿插值法求余项

牛顿插值法是一种用于插值的数值分析方法，它可以通过已知数据点的函数值来构造一个多项式函数，从而在数据点之间进行插值。余项是指插值多项式与原函数之间的差异，它可以用来衡量插值多项式的精度。在牛顿插值法中，余项可以通过拉格朗日余项公式来计算。具体而言，对于给定的函数f(x)和插值点x0,x1,...,xn，牛顿插值多项式为：
Pn(x) = f[x0] + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)
其中，f[x0,x1,...,xn]表示f(x0,x1,...,xn)的差商，可以通过递归公式计算得到。拉格朗日余项公式为：
Rn(x) = f(x) - Pn(x) = f[x,x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn+1)
其中，f[x,x0,x1,...,xn]表示f(x,x0,x1,...,xn)的差商，可以通过递归公式计算得到。因此，matlab牛顿插值法求余项的步骤如下：
1. 计算插值多项式Pn(x)；
2. 计算差商f[x,x0,x1,...,xn]；
3. 计算余项Rn(x)。
具体的matlab代码如下：

% 定义函数f(x)
f = @(x) exp(x);

% 定义插值点x0,x1,x2,x3
x = [0 1 2 3];

% 计算差商f[x0,x1,x2,x3]
f_diff = diff_divided_difference(f, x);

% 计算插值多项式P3(x)
syms t;
P3 = f(x(1)) + f_diff(1)*(t-x(1)) + f_diff(2)*(t-x(1))*(t-x(2)) + f_diff(3)*(t-x(1))*(t-x(2))*(t-x(3));

% 计算余项R3(x)
syms x;
R3 = abs((exp(x)-P3)/factorial(4));

% 绘制函数f(x)和插值多项式P3(x)的图像
ezplot(f, [0 3]);
hold on;
ezplot(P3, [0 3]);
title('f(x) and P3(x)');
legend('f(x)', 'P3(x)');
hold off;

% 输出余项R3(x)的值
disp(['R3(x) = ', char(R3)]);

其中，diff_divided_difference是一个自定义函数，用于计算差商f[x0,x1,...,xn]，代码如下：

function f_diff = diff_divided_difference(f, x)
% 计算差商f[x0,x1,...,xn]
n = length(x) - 1;
f_diff = zeros(1, n+1);
f_diff(1) = f(x(1));
for i = 2:n+1
    f_diff(i) = divided_difference(f, x(1:i), f_diff(1:i-1));
end
end

function f_diff = divided_difference(f, x, f_diff)
% 计算差商f[x0,x1,...,xn]
n = length(x) - 1;
if n == 1
    f_diff = (f(x(2))-f(x(1))) / (x(2)-x(1));
else
    f_diff = (divided_difference(f, x(2:n+1), f_diff(2:n)) - divided_difference(f, x(1:n), f_diff(1:n-1))) / (x(n+1)-x(1));
end
end