f : R**2 一 R : (x, y) - cosh(x**2 + y**2)是凸函数吗

根据定义，如果一个函数的Hessian矩阵是半正定的，则该函数是凸函数。Hessian矩阵是一个函数的二阶导数矩阵。因此，我们需要计算f(x,y)的Hessian矩阵并检查它是否半正定。

首先，计算f(x,y)的一阶偏导数：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x \sinh(x^2+y^2) \\
\frac{\partial f}{\partial y} = -2y \sinh(x^2+y^2)
$$
然后，计算f(x,y)的二阶偏导数：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2\sinh(x^2+y^2) + 4x^2\cosh(x^2+y^2) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2\sinh(x^2+y^2) + 4y^2\cosh(x^2+y^2) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -4xy\cosh(x^2+y^2)
$$
因此，f(x,y)的Hessian矩阵为：
$$
H_f(x,y) = \begin{bmatrix}
2\sinh(x^2+y^2)+4x^2\cosh(x^2+y^2) & -4xy\cosh(x^2+y^2) \\
4xy\cosh(x^2+y^2) & -2\sinh(x^2+y^2)+4y^2\cosh(x^2+y^2)
\end{bmatrix}
$$
接下来，我们需要检查Hessian矩阵是否半正定。可以使用Sylvester准则来检查。根据Sylvester准则，一个矩阵是半正定的，当且仅当它的所有主子矩阵的行列式都非负。因此，我们需要检查Hessian矩阵的所有主子矩阵的行列式是否都非负。

首先，检查Hessian矩阵的1x1主子矩阵：
$$
\begin{vmatrix}
-2\sinh(x^2+y^2)+4x^2\cosh(x^2+y^2)
\end{vmatrix} = -2\sinh(x^2+y^2)+4x^2\cosh(x^2+y^2)
$$
由于$\cosh(x^2+y^2)$始终大于等于1，因此当$x^2+y^2=0$时，行列式为0，否则行列式为正。因此，1x1主子矩阵的行列式非负。

然后，检查Hessian矩阵的2x2主子矩阵：
$$
\begin{vmatrix}
-2\sinh(x^2+y^2)+4x^2\cosh(x^2+y^2) & -4xy\cosh(x^2+y^2) \\
-4xy\cosh(x^2+y^2) & -2\sinh(x^2+y^2)+4y^2\cosh(x^2+y^2)
\end{vmatrix} = 16x^2y^2\cosh^2(x^2+y^2)-4\cosh(x^2+y^2)(x^2+y^2)+4
$$
由于$\cosh(x^2+y^2)$始终大于等于1，因此当$x^2+y^2=0$时，行列式为4，否则行列式为正。因此，2x2主子矩阵的行列式非负。

因此，根据Sylvester准则，Hessian矩阵是半正定的，因此f(x,y)是凸函数。