双曲正弦函数单调性与极值：揭秘函数奥秘

# 1. 双曲正弦函数的定义和性质

**1.1 定义**

双曲正弦函数（sinh），定义为：

sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

其中，e 为自然对数的底数。

**1.2 性质**

双曲正弦函数具有以下性质：

* 奇函数：sinh(-x) = -sinh(x)
* 单调递增：x > 0 时，sinh(x) > 0
* 导数：d/dx sinh(x) = cosh(x)
* 积分：∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C

# 2. 双曲正弦函数的单调性分析

### 2.1 一阶导数与单调性

**定义：** 双曲正弦函数的导数为：

cosh(x) = sinh(x)

**性质：**

* cosh(x) > 0，对于所有实数x
* cosh(x)是偶函数，即cosh(-x) = cosh(x)

**单调性：**

根据一阶导数的正负性，可以确定双曲正弦函数的单调性：

* 当x > 0时，cosh(x) > 0，因此sinh(x)在(0, ∞)上单调递增。
* 当x < 0时，cosh(x) > 0，因此sinh(x)在(-∞, 0)上单调递减。

### 2.2 二阶导数与凹凸性

**定义：** 双曲正弦函数的二阶导数为：

cosh''(x) = sinh'(x) = cosh(x)

**性质：**

* cosh''(x) > 0，对于所有实数x
* cosh(x)是凸函数，即其图像向上弯曲。

**凹凸性：**

根据二阶导数的正负性，可以确定双曲正弦函数的凹凸性：

* 当x > 0时，cosh''(x) > 0，因此sinh(x)在(0, ∞)上是凸函数。
* 当x < 0时，cosh''(x) > 0，因此sinh(x)在(-∞, 0)上也是凸函数。

**示例：**

import numpy as np
import matplot