深入剖析双曲正弦函数图像变换：揭开图像奥秘

# 1. 双曲正弦函数的基本性质和图像

双曲正弦函数（sinh）是双曲函数族中的一种，定义为 `sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2`。它具有以下基本性质：

* **奇函数：** `sinh(-x) = -sinh(x)`
* **单调递增：** `x > y` 时，`sinh(x) > sinh(y)`
* **图像：** 双曲正弦函数的图像是一条平滑的、向上开口的曲线，经过原点，且在 `x = 0` 处具有奇点。

# 2. 双曲正弦函数图像变换的理论基础

### 2.1 平移变换

平移变换是指将图像在水平或垂直方向上移动一定距离，而不改变图像的形状或大小。

#### 2.1.1 水平平移

水平平移是指将图像沿 x 轴移动一定距离。平移距离为 `a` 时，图像中每个点的横坐标 `x` 变为 `x + a`。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义原始图像
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = np.sinh(x)

# 水平平移 2 个单位
a = 2
y_translated = np.sinh(x + a)

# 绘制原始图像和平移后的图像
plt.plot(x, y, label="原始图像")
plt.plot(x, y_translated, label="平移后图像")
plt.legend()
plt.show()

**代码逻辑分析：**

* `np.linspace(-5, 5, 100)` 生成一个从 -5 到 5，包含 100 个点的均匀分布数组。
* `np.sinh(x)` 计算双曲正弦函数。
* `y_translated = np.sinh(x + a)` 将图像水平平移 `a` 个单位。
* `plt.plot()` 绘制原始图像和平移后的图像。

#### 2.1.2 垂直平移

垂直平移是指将图像沿 y 轴移动一定距离。平移距离为 `b` 时，图像中每个点的纵坐标 `y` 变为 `y + b`。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义原始图像
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = np.sinh(x)

# 垂直平移 1 个单位
b = 1
y_translated = np.sinh(x) + b

# 绘制原始图像和平移后的图像
plt.plot(x, y, label="原始图像")
plt.plot(x, y_translated, label="平移后图像")
plt.legend()
plt.show()

**代码逻辑分析：**

* `np.sinh(x)` 计算双曲正弦函数。
* `y_translated = np.sinh(x) + b` 将图像垂直平移 `b` 个单位。
* `plt.plot()` 绘制原始图像和平移后的图像。

### 2.2 缩放变换

缩放变换是指将图像在水平或垂直方向上放大或缩小一定倍数，而不改变图像的形状。

#### 2.2.1 水平缩放

水平缩放是指将图像沿 x 轴放大或缩小一定倍数。缩放因子为 `c` 时，图像中每个点的横坐标 `x` 变为 `x * c`。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义原始图像
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = np.sinh(x)

# 水平缩放 2 倍
c = 2
y_scaled = np.sinh(x * c)

# 绘制原始图像和缩放后的图像
plt.plot(x, y, label="原始图像")
plt.plot(x, y_scaled, label="缩放后图像")
plt.legend()
plt.show()

**代码逻辑分析：**

* `np.sinh(x)` 计算双曲正弦函数。
* `y_scaled = np.sinh(x * c)` 将图像水平缩放 `c` 倍。
* `plt.plot()` 绘制原始图像和缩放后的图像。

#### 2.2.2 垂直缩放

垂直缩放是指将图像沿 y 轴放大或缩小一定倍数。缩放因子为 `d` 时，图像中每个点的纵坐标 `y` 变为 `y * d`。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义原始图像
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = np.sinh(x)

# 垂直缩放 1.5 倍
d = 1.5
y_scaled = np.sinh(x) * d

# 绘制原始图像和缩放后的图像
plt.plot(x, y, label="原始图像")
plt.plot(x, y_scaled, label="缩放后图像")
plt.legend()
plt.show()

**代码逻辑分析：**

* `np.sinh(x)` 计算双曲正弦函数。
* `y_scaled = np.sinh(x) * d` 将图像垂直缩放 `d` 倍。
* `plt.plot()` 绘制原始图像和缩放后的图像。

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