双曲正弦函数技巧大全：特殊值、恒等式，轻松搞定

# 1. 双曲正弦函数的定义和性质

双曲正弦函数（sinh）是双曲函数的一种，定义为：

sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

其中，x 是实数。

双曲正弦函数具有以下性质：

* 奇函数：sinh(-x) = -sinh(x)
* 单调递增：对于所有 x，sinh(x) > 0
* 连续可导：sinh'(x) = cosh(x)

# 2. 双曲正弦函数的特殊值和恒等式

### 2.1 双曲正弦函数的特殊值

#### 2.1.1 常见的特殊值

双曲正弦函数在特殊点处具有以下特殊值：

| x | sinh(x) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| -1 | -1 |
| ∞ | ∞ |
| -∞ | -∞ |

#### 2.1.2 特殊值的证明

这些特殊值可以通过双曲正弦函数的定义直接证明：

* **sinh(0) = 0**：

sinh(0) = (e^0 - e^-0) / 2 = (1 - 1) / 2 = 0

* **sinh(1) = 1**：

sinh(1) = (e^1 - e^-1) / 2 = (e - 1/e) / 2 = 1

* **sinh(-1) = -1**：

sinh(-1) = (e^-1 - e^1) / 2 = (1/e - e) / 2 = -1

* **sinh(∞) = ∞**：

lim (x -> ∞) sinh(x) = lim (x -> ∞) (e^x - e^-x) / 2 = ∞

* **sinh(-∞) = -∞**：

lim (x -> -∞) sinh(x) = lim (x -> -∞) (e^x - e^-x) / 2 = -∞

### 2.2 双曲正弦函数的恒等式

双曲正弦函数满足以下恒等式：

#### 2.2.1 加法定理

sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y)

**证明：**

sinh(x + y) = (e^(x + y) - e^(-(x + y))) / 2
= (e^x e^y - e^-x e^-y) / 2
= (e^x cosh(y) + e^-x sinh(y)) / 2
= sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y)

#### 2.2.2 减法定理

sinh(x - y) = sinh(x) cosh(y) - cosh(x) sinh(y)

**证明：**

sinh(x - y) = (e^(x - y) - e^(-(x - y))) / 2
= (e^x e^-y - e^-x e^y) / 2
= (e^x cosh(y) - e^-x sinh(y)) / 2
= sinh(x) cosh(y) - cosh(x) sinh(y)

#### 2.2.3 倍角公式

sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)

**证明：**

sinh(2x) = (e^(2x) - e^(-2x)) / 2
= (e^x e^x - e^-x e^-x) / 2
= (e^x cosh(x) - e^-x sinh(x)) / 2
= 2 sinh(x) cosh(