掌握双曲正弦函数的特殊值和恒等式：关键值和恒等式的秘诀

# 1. 双曲正弦函数的基础概念

双曲正弦函数（sinh），是双曲函数族中的一种，其定义为：

sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

其中，x 是实数。

双曲正弦函数与正弦函数类似，但其自变量是双曲角，而不是圆角。双曲角是与直角三角形中锐角对应的角，其定义为：

cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

# 2. 双曲正弦函数的特殊值

### 2.1 双曲正弦函数在特殊点的值

在特殊点处，双曲正弦函数具有以下特殊值：

| 特殊点 | 双曲正弦值 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| ∞ | ∞ |
| -∞ | -∞ |

**证明：**

* 当 x = 0 时，sinh(0) = (e^0 - e^0) / 2 = 0。
* 当 x → ∞ 时，sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2 → (∞ - 0) / 2 = ∞。
* 当 x → -∞ 时，sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2 → (-∞ - 0) / 2 = -∞。

### 2.2 双曲正弦函数的奇偶性与周期性

**奇偶性：**

双曲正弦函数是奇函数，即：

sinh(-x) = -sinh(x)

**证明：**

sinh(-x) = (e^(-x) - e^(x)) / 2 = -(e^(x) - e^(-x)) / 2 = -sinh(x)

**周期性：**

双曲正弦函数不是周期函数，即不存在任何实数 T 使得：

sinh(x + T) = sinh(x)

**证明：**

对于任意实数 T，都有：

sinh(x + T) = (e^(x + T) - e^(-x - T)) / 2

而：

sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2

显然，sinh(x + T) ≠ sinh(x)，因此双曲正弦函数不是周期函数。

# 3. 双曲正弦函数的恒等式

### 3.1 加法定理和减法定理

**加法定理：**

sinh(x + y) = sinh(x)cosh(y) + cosh(x)sinh(y)

**减法定理：**

sinh(x - y) = sinh(x)cosh(y) - cosh(x)sinh(y)

**证明：**