掌握双曲正弦函数的特殊值和恒等式:关键值和恒等式的秘诀
发布时间: 2024-07-06 10:21:25 阅读量: 114 订阅数: 56 


# 1. 双曲正弦函数的基础概念
双曲正弦函数(sinh),是双曲函数族中的一种,其定义为:
```
sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2
```
其中,x 是实数。
双曲正弦函数与正弦函数类似,但其自变量是双曲角,而不是圆角。双曲角是与直角三角形中锐角对应的角,其定义为:
```
cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2
```
# 2. 双曲正弦函数的特殊值
### 2.1 双曲正弦函数在特殊点的值
在特殊点处,双曲正弦函数具有以下特殊值:
| 特殊点 | 双曲正弦值 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| ∞ | ∞ |
| -∞ | -∞ |
**证明:**
* 当 x = 0 时,sinh(0) = (e^0 - e^0) / 2 = 0。
* 当 x → ∞ 时,sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2 → (∞ - 0) / 2 = ∞。
* 当 x → -∞ 时,sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2 → (-∞ - 0) / 2 = -∞。
### 2.2 双曲正弦函数的奇偶性与周期性
**奇偶性:**
双曲正弦函数是奇函数,即:
```
sinh(-x) = -sinh(x)
```
**证明:**
```
sinh(-x) = (e^(-x) - e^(x)) / 2 = -(e^(x) - e^(-x)) / 2 = -sinh(x)
```
**周期性:**
双曲正弦函数不是周期函数,即不存在任何实数 T 使得:
```
sinh(x + T) = sinh(x)
```
**证明:**
对于任意实数 T,都有:
```
sinh(x + T) = (e^(x + T) - e^(-x - T)) / 2
```
而:
```
sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2
```
显然,sinh(x + T) ≠ sinh(x),因此双曲正弦函数不是周期函数。
# 3. 双曲正弦函数的恒等式
### 3.1 加法定理和减法定理
**加法定理:**
```
sinh(x + y) = sinh(x)cosh(y) + cosh(x)sinh(y)
```
**减法定理:**
```
sinh(x - y) = sinh(x)cosh(y) - cosh(x)sinh(y)
```
**证明:**
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